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《从一到无穷大》跨越数字鸿沟，见证从有限到无穷的奇妙数界跃迁之旅
铛铛铃2025-09-13【科普】607人已围观
简介
今天为您解读的书是《从一到无穷大》。
这本书以数学为线索，介绍了20世纪以来的重大科学进展，从数学的一窥探到大千世界的无穷大。所以，它还有一个副标题是“科学中的事实和臆测”。
这本《从一到无穷大》写于19年，距今已经有70余载了。1978年首次在中国出版，那一年，清华大学教授刘冰还是一个大一学生，他在微积分老师的推荐下读了这本书。他说：“没想到一本科普书竟然是如此的吸引人，几乎是像读侦探小说一样，一个晚上就读完了。”虽然过去这么多年了，这本书还是那么经典，至今仍然是刘冰教授认为读过的最好的一本科普书。
那这本书为何如此有魅力呢？它与常见的按主题分类的科普读物不同，而是以数学为主线，与物理、化学，乃至天文学、生物学等众多学科融合在一起，内容信手拈来，又存在着紧密联系。用中学数学知识就能完美解释相对论，糖块儿在咖啡里溶解，其实是个概率论的问题；在地球上架两个望远镜，就可以知道太阳离我们有多远。这本书给我们观察世界提供了一种独特的视角。
本书作者乔治·伽莫夫，是一位顶尖的俄裔美籍科学家，是著名的宇宙大爆炸理论的奠基人。他涉猎广泛，在核物理学、天体物理学、宇宙学，甚至分子生物学方面，都做出了开创性的贡献。他跟一般不苟言笑的科学家很不同，是一个爱讲笑话的人，一位漫画家，一个恶作剧爱好者，同行们评价他，他也就是一个大顽童。如果放到今天，也算是一位科学界的段子手。
这本书一共25万字，下面呢，我将从四个数学工具出发，为你解读这本书。第一个工具，虚数，它能够带我们走进四维空间；第二个工具，三角形内角和，它会让我们看到空间的弯曲；第三个，概率论，为我们解释了微观世界的运动；第四，视差位移，啊，有了它呢，我们普通人也可以打开上帝视角，丈量宇宙。从一滴水到整个宇宙，从二维纸片人到四维空间，让我们一起来感受数学的妙用，来一场思维穿越之旅。
好，首先让数学带我们去四维空间。咱们呢，先做一点准备工作，一起来回忆一下乘法表：“二、二得四，三三得九，四、四、一十六。”这呢，叫数的平方运算。倒推回来，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四。啊，这都很好理解。但是呢，你有没有想过，四、九、-16，它们的平方根又是什么呢？负数的平方根有没有意义呢？
以我们中学的数学知识，负数没有平方根，因为它根本就不是平方数。可是呢，在实际运算当中，负数的平方根总是会出来冒个泡儿。比如说有这么一道题，要找到两个数，使它们相加等于十，相乘等于40。嗯，这个答案本来是不存在的，但是如果引入负数的平方根，竟然呢，就是把这事儿给办成了。这俩数，一个是五加根号-15，一个呢，是五减根号-15。
数学家的脾气呢，就是倔得很，既然一个没有意义的东西总是出现，那就一定要给它创造一点意义出来。于是呢，他们给负数的平方根起了一个大名儿，叫虚数，就是那个空虚的虚啊，用字母I表示，I的平方等于-1。那么根号-4就是2I，根号-25呢，就是5I。虚数就像是实数在镜子里的幻象，除了能够做点计算，人们实在看不出来它到底有什么用。
直到两个业余数学家把虚数引入坐标轴，哎，现在请你想象一下，画一条横轴对应所有的实数点，在这条轴上，零的左边是负数，零的右边是正数，没有虚数的位置。当我们在零的位置上画一条纵轴，就可以表示虚数了，它上边的点是I、2I、3I……这样一来，不论是虚数还是实数，就都能够在这个坐标系里找到了。比如4I，嗯，就是在纵轴上，如果是3+4I，那么就在横轴上找到三，纵轴上找到四，两者一交汇就可以了。
你可能要说，这不还是没什么用处吗？哎，其实呢，还真是有着大用处。依靠I这个虚数的坐标轴，人们发现虚实两个不相干的维度可以结合啊，这可引爆了物理学的一场革命，它帮助我们建立了四维空间的时空模型。
关于第四维的概念，经常是被认为很神秘啊，像我们这些只有宽度、厚度和高度的生物，能从三维的头脑当中想象出四维的情景吗？其实没有那么复杂，有一个我们几乎每天都要用到的字眼，正是物理世界的第四个独立方向，它就是时间。时间经常和空间一起，用来描绘我们周围发生的事件，不管是哪家电视台播新闻啊，除了说事件发生在何处，还得说发生在何时。因此呢，所有的实际物体都是四维的，三维属于空间，一维属于时间。
现在我们要把这四个维度，统一到一个空间模型当中，这就会碰到一个问题，这四个维度的度量单位不同呀，三维空间用的是距离单位米、厘米、毫米，而时间维度用的是时间单位小时、分钟、秒，这要怎么样统一和比较呢？我们需要速度来为他们牵线搭桥。在物理上有这样一个唯一的标准速度，那就是光速。有了光速乘以时间就能够得到距离，这样我们就可以把时间看作是一种距离尺度。比如说天文学家说，某颗星离我们五光年远，这就是跟我们所说的乘火车到某地需要五个小时是一个道理。
现在我们画一个坐标轴，横轴表示空间，纵轴表示时间啊，就能够确定一个事件的四维空间坐标了。但是时间和空间毕竟有着完全不同的性质，不能够简单地只做单位上的统一。这时候前面讲到的虚数就派上用场了，把这个四维空间坐标和之前说的虚实坐标轴对应起来，这样时间是虚数，空间是实数，二者就被赋予了本质的区别。在计算中，如果有两个事件的坐标点，我们把它们空间距离和时间距离的平方和开方，就可以计算出两个事件的四维距离。
如果两个事件之间的空间距离比时间间隔小，比如你早上八点在客厅读书，妈妈中午12点在厨房做饭，那么在计算这两件事的四维距离时，根号内得到的是负数，我们就说两个事件之间存在着虚的四维距离。反过来，如果空间距离比时间间隔大，比如你还是早上八点钟在客厅读书，10分钟以后有一块陨石撞击火星表面，那么在计算当中，根号内得到的是正数，就意味着两个事件之间存在着实的四维距离。
这个虚实的坐标轴还有更大的作用，如果说物体是高速运动的，那么这个坐标轴就是可以旋转的，这一旋转事件在两个坐标轴上的投影就改变了，在纵轴的投影会变长，与横轴的投影会变短。说的通俗一点呢，就是对于一个高速运动的物体来说，时间会变慢，长度会缩短。诶，听到这儿，你是不是有种恍然大悟的感觉，这不就是狭义相对论吗？啊，原来看似毫无意义的虚数之下，竟然是隐藏着一个物理学上如此重大的意义。
狭义相对论里说到时间的弯曲，广义相对论里则是出现了空间的弯曲。好，第二部分，我们就说一说数学与空间。在这里呢，你会看到空间的弯曲。
大家肯定对曲线和曲面都不陌生，可是你能不能想象出弯曲的空间呢？虽然爱因斯坦的广义相对论告诉我们，空间也能弯曲，可是我们生活在空间之内，怎么在空间内部判断空间是弯曲的呢？啊，答案很简单，利用三角形的内角和定理。
我们先来想象一下，如果有一个二维的纸片人，嗯，他将如何得知自己所在的平面是弯曲的呢？办法很简单，就是画一个三角形。我们知道，任何平面三角形的内角和都是180度，但是如果是在球面上，这个定理就不成立了。你可以想象一下，地球仪上两条经线和赤道相交而成的三角形当中，就有两个90度的直角，它的内角和肯定是超过了180度的。不难看出，如果这个纸片人发现，他测出的三角形内角和大于180度，那么就可以判断出自己是身在一个类似球面的凸起的曲面上啊，这叫正曲率。如果内角和小于180度，那就是一个马鞍形状的凹下去的曲面，这叫做负曲率。
同样，我们三维空间的人类也可以使用这个办法，在空间里找三个点，然后拉紧绳子，看看三个夹角之和是否等于180度。根据爱因斯坦的广义相对论，空间在巨大质量的物体附近会发生弯曲，质量越大，弯曲得越厉害。
1915年，当爱因斯坦提出这个理论的时候，人们无法理解，也难以相信。你可能会说，不就是测量三角形的内角和吗，这还不简单吗，就证明呗啊，找一个巨大质量的物体，比如一座大山，环山钉上三个木桩，拉起绳子，测量绳子夹角。可是即使你挑的是最大的喜马拉雅山，结论也只有一个，三个角的内角和正好是180度，因为即使是质量大如喜马拉雅山，也还不足以让空间弯曲到可测量的程度。
爱因斯坦为了证明自己的理论，找了一个质量更大的物体——太阳。他提出了这么一个实验，在地球上找一个点，拴上一根绳，扯到一颗恒星上去，再从这个恒星拉到另外一颗恒星上，最后呢，再盘回到地球上的那个点，并且一定要注意，要让太阳正好位于绳子所围成的三角形之内。根据广义相对论，由于中间的太阳弯曲了时空，那么这三个角度的和不应该等于180度。如果我们没有足够长的绳，就用光来代替，因为光线总是走最短的路线的。
在实际实验当中，我们并不需要测量全部三个角的角度，只需要测量两颗恒星射向地球的光线所形成的夹角，这个夹角在太阳运行到这个大三角形内和运行离开时应该有所不同。这项实验有一个必要的条件，那就是只有在日全食下才能实现，因为平时太阳的光芒太耀眼，我们看不到它周围的星辰。
于是一直等到1919年，西非发生日全食，一支英国天文学远征队成功地完成了这个实验，观测到恒星发出的光线在经过太阳时确实发生了偏折，这就证明太阳的质量确实迫使周围的空间发生了弯曲。爱因斯坦还进一步得出了更为重要的理论啊，引力就是时空弯曲所产生的效应，这就摒弃了引力作为一种力的概念，而是把它看成了一种空间几何。当太阳的质量弯曲了周围的空间时，周围的行星是沿着弯曲的空间滑行，而不是太阳有一个力在拉着他们。这就好比是说，我们在弯曲的高速公路上，只能行驶弯曲的路线。
从以上两个部分中我们可以看出，爱因斯坦的物理成就与数学有着很大的关联。可以说，狭义相对论和广义相对论都是通过数学来分析物体运动现象的理论。
我们再来看第三点：
概率论怎么解释微观世界的运动？
让我们来研究一下分子的运动规律。
如果你用肉眼观察一杯水，基本看不出任何运动的迹象。但是如果把水放大几百万倍，就会看出它具有明显的颗粒结构，是由大量紧紧地挨在一起的单个分子组成。这时就能够清楚地看到，水绝非是处于静止状态，它的分子处于猛烈的骚动之中，恰似一个极度激动的人群。
其实，一切物质的分子都在不停地做无规则运动，这叫做热运动。分子的热运动不是说非得加热才会出现，事实上，只有在零下273度，也就是绝对零度的低温之下，分子才会归于静止。
像我们平时吃的咸菜、咸鸭蛋啊，都是利用了氯化钠不断运动，进入蛋或者是菜中使其变咸，这是分子热运动的典型应用。
既然热运动是无规则的，那是不是就没有办法计算出分子的运动轨迹了呢？嘿，还真有办法，数学就是这么神奇。它也许不能够给出每一个分子的精确运动轨迹，但是呢，却可以给出它最有可能的运动轨迹。
有意思的是，分子的运动轨迹跟一个醉汉走路的路线是一样的。醉汉走路是一个著名的数学问题。假设在某个广场的某个灯柱下面，靠着一个醉汉，他忽然打算随便走动一下，于是他先朝着一个方向走上了几步，然后呢，换个方向再走上几步，如此这般，没走几步就随意折个方向。那么这位仁兄在弯弯曲曲走了一段路程，比如说啊，拐了100次弯以后，它离灯柱有多远呢？乍一看，每次拐弯情况都不可估计，这个问题似乎无法解答。
现在我们就用严格的数学方法来解答这个题目。其实只要以灯柱为原点，画两条坐标轴，使用简单的毕达哥拉斯定理就可以计算了。我们可以列出一个无限长的方程式，如果醉汉走了N个转折，那么方程里就得要从一算到N。这可怎么解呢？
现在我们要引入统计学的观点了。由于醉鬼走路是无规则的，那么他走路正反方向的可能性是相等的，于是走得越多，在方向上的抵消就越彻底。于是你会发现，这个无限长的方程式经过整理之后，结果出奇的简单。醉鬼在拐了N次弯之后，距离灯柱最有可能的距离，是各段路程的平均长度乘以根号N。
举个例子，如果醉汉每走一米就拐个弯，那么在他拐了100次弯以后，距离灯柱的距离就是一乘以根号100，也就是10米啊。拐的弯越多，走得越久，计算的结果就越精确。
现在我们把醉汉换成分子，想象一下，在一杯水当中注入紫色的高锰酸钾溶液，看它在水中扩散的情况。这时，每一个高锰酸钾分子，就像是一个一个的小醉汉，被周围的水分子不停的冲来撞去，改变着运动路线。这些分子每经过一秒钟，就会发生上万亿次的碰撞和拐弯，而一次走出的距离呢，只有1/16英寸。根据我们上面推导出的公式计算，要等上1万秒钟啊，也就是将近三个小时的时间，高锰酸钾紫色的分子才能够扩散100倍，也就是一英寸远。
也许你用不着计算，凭借生活常识也知道，扩散是个相当慢的过程，否则我们往咖啡里边加糖的时候，干嘛要不停地搅动，好让糖融化得更快呢？可是我要告诉你，分子在室温下的运动速度，高达每小时576千米。要知道咱们最新的复兴号高铁，最高时速也才350千米。如此高速狂奔的热运动，呈现出来的样子却是如此的风平浪静。
你看，有了这个概率公式，我们就能够很好的解释这个问题了。
再举个例子就更直观了。光从太阳表面直线射到地球需要8分钟，可是光子从太阳的中心走到表面，却要花上整整50个世纪。这让我们再一次看到，扩散过程是何等的缓慢。
我们看到，当对象数目很少时，我们只能够做模糊的概率推算，而随着对象数目增多，考虑到几十亿个分子的运动时，却遵循着极为严格的扩散定律。从一个不确定的状态，到达一个最可能、最确定的状态，也就是从一个小概率事件，发展成大概率事件，这就是著名的热力学第二定律，也叫做熵定律。
熵代表着无序和混乱，一个孤立的系统当中，任何自发的变化，都朝着使熵增加的方向发展。当熵达到最大值，系统就会处于平衡的状态。比如说麻将桌上砌长城的时候，熵就很低啊，哗啦哗啦洗牌的时候呢，这熵就很高。在一杯咖啡当中加入牛奶，刚开始二者还分得很清楚，随着时间的推移就混在一起了，这个过程就是熵在变大。熵不仅是在变大，而且呢，如果没有外力作用，那么熵增的过程也不可逆转。当你在沙漠当中堆起一座沙堡，风很快就会把沙堡吹散，重新回归无序，但是再厉害的风，也无法把沙子吹成原来的沙堡。诶，正如一个打碎的玻璃杯，不可能自发的还原。这个定律也是很好地解释了，为什么时间的箭头是单向的。
最后呢，我们从微观走向宏观，再来看第四个问题：如何用视差位移丈量宇宙？
要说数学在宏观宇宙当中的应用，那可多了去了。咱们今天呢，啊，就研究一个最基本的问题，测量大小，一起来看一看，数学如何帮助我们了解地球的大小、太阳系的大小，甚至银河系的大小。
当人类首次意识到大地是个球体之后，自然是要给自己提出这样的问题啊，这个球到底有多大呀？公元前三世纪，希腊著名科学家埃拉托色尼最先想了一个办法。当时他听说在尼罗河上游的塞恩城，在夏至的那一天的正午，太阳正好是悬在头顶，凡是直立的物体都没有影子，而他自己居住的亚历山大里亚，却从来没有发生过这样的事儿啊。同样在夏至的正午，太阳离头顶上方有七度角的距离。于是埃拉托色尼受到了启发，如果顺着直射到赛恩的太阳光，画一条直线，一直延伸到地球的中心点啊，再从中心点画一条直线，引向亚历山大里亚，那么这两条线的交角，就是太阳照射亚历山大里亚的角度，七度角。七度角是整个圆周360度角的近1/50，整个圆周就应该是两座城市距离的50倍。最后，埃拉托色尼计算出地球的周长是4万千米，而我们今天得出的准确数值是40076千米，可见2000多年前的计算可谓是相当精确了。
但是，对地球的第一次测量，最重要的倒不在于它如何精确啊，而在于人们发现它实在是太大了。如果地球是如此之大，那么地球以外的世界又有多大呢？于是就有了天文学第一问题：地球与太阳的距离。这是人类认识宇宙大小的最关键的一把钥匙。
要测量日地距离，科学家发明了这样一个办法，叫做视差位移。其实呢，原理很简单，你可以用穿针引线来尝试感受一下。如果说你闭上一只眼睛来穿针，俺就会发现，手中的线头怎么样都找不准针眼，只凭一只眼睛是判断不出针线距离的。当我们用两只眼睛观察物体时，两条视线就会与物体产生夹角，肌肉感受到这个夹角的大小啊，就会可靠的告诉我们这段距离是多少，这个效应就叫做视差位移。
现在我们可以在地球的两个不同的地方，架起天文望远镜，就像两只眼睛一样观察太阳，测量它们之间的角度啊。但是太阳实在是太远了，科学家们呢，还要借助金星凌日这种罕见的天文现象，先计算金星的视差，再由几何学方法计算出日地距离。
在1761年，为了率先解决这个天文学第一问题，整个天文学界简直是像比拼奥运会一般啊，各国都是派出了最优秀的选手，奔赴地球100多个角落。这场国际大行动的结果是，日地距离为1.33亿千米，太阳系的空间尺度终于是初步搞清楚了。
但是人类还在继续向太空迈进啊，这就要走向恒星世界了。视差方法还是可以应用，但是即使是地球上距离最远的两点，也无法在广袤的星际背景上找到明显的视差。但是我们还是有办法，既然我们知道了日地距离，那何不用地球公转的轨道来测量恒星的距离呢？换句话说，我们在1月初近日点的地方和在7月初远日点的地方，分别测量恒星的视差。于是，科学家们拿着尺子跨出太阳系，成功地测量出天鹅座61这颗恒星的距离比太阳还远69万倍。
然而问题又来了，视差位移法的极限，只能测定不超过400光年的距离，再远就不行了，因为视差实在是太小。但是科学家们找到了一个新的办法，哎，这就是造父变星。“造”是创造了，“造父”是父亲的父。在18世纪，英国的一位聋哑少年，凭借着一双视力超强的眼睛，发现了有一种星星，它们的光度有规则的发生明暗变化，就像是心脏一样规则的搏动着。这种光度变化的星星就是造父变星。这位身残志坚的少年，在22岁的时候就英年早逝了，却为我们探索太空找了一根新的量天尺。
科学家们发现，造父变星的亮度和光变周期之间存在着数学关系。换句话说，只要测定出一颗造父变星的光变周期，就能求出这颗星的绝对亮度值，然后呢，再根据亮度与距离的平方成反比的规律，就能够算出距离了。科学家们惊奇地发现，好多星团中都有造父变星，于是成功地测量了银河系内极远的距离。更重要的是，如果在一个河外星系里发现了造父变星，那么这颗造父变星的距离，也就代表了这个星系的距离。于是，我们测量出了银河系的直径有16万光年，而距离银河系最近的星——仙女星系，距离地球有254万光年。宇宙的尺度真的是让我们难以想象啊。
今天我们知道，宇宙依然是有确定大小的，它的直径至少有920亿光年。这并不是说，当你到了920亿光年的地方，会碰上一堵大墙啊，上面写着此路不通啊，而是说它是一个有限却没有边界的自我封闭的空间。还记得我们第二部分讲的空间弯曲吗？宇宙是一个有着确定体积、正曲率的空间。你可以假想一位空间探险家，尽管他笔直的驾驶着宇宙飞船，最后呢，却会飞回到他出发的地点。
最后，让我们来总结一下：
在这本书当中，我们为大家介绍了四个数学工具，分别是虚数、三角形的内角和、概率论，还有视差位移。他们推动或者发展了狭义相对论、广义相对论、热力学第二定律和宇宙测量。可以说，科学发展的一块重要的基石就是数学，他用一种更深更高的思维境界，赋予我们额外的感官，帮助我们拓展未知的边界。从一到无穷大，既是数学上的由少到多，又是科学发展的由浅入深。可以说，宇宙中人类未知的领域依然是无穷大，但是那又如何，进一寸有进一寸的欢喜，又哪怕真理无穷呢？
好，《从一到无穷大》这本书就为你解读到这儿，听书笔记在音频下方，我们明天见。
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