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《数学》
铛铛铃2025-09-13【科普】1人已围观
简介
今天为你解读的书是《数学》。
一听到这个书名，你也许会认为是一本数学教科书。事实上，这本书有一个副标题：a very short introduction，翻译成中文呢，是“一个极短的介绍”。也就是说，这是一本数学科普书。作者想通过这本书，向读者来传达主流数学的魅力，让读者体会到数学的妙不可言。
这本书的作者是英国的数学家蒂莫西·高尔斯，英国剑桥大学的教授。同时呢，他还是数学领域的诺贝尔奖——菲尔兹奖的获得者。
高尔斯试图在这本书里边回答一个问题：数学是什么？
数学是什么？当你成为小学生，第一次拿到数学课本的时候，你想过这个问题没有？你的第一堂数学课上，数学老师有没有给你解释过这个问题？
这个问题啊，看上去简单，要说清楚却很难。高尔斯说，他想回答这个问题，但是碰到了两道绕不过的坎儿。
首先呢，是任何一本数学书都有各式各样的记号、术语和公式。读者想要记住这些记号，理解其中的术语，看懂这些公式，绝对不是一件容易的事情。例如，把字母 S 拉拉长，中间呢再加一个圆圈，这是什么呀？如果你已经在高等院校理工类专业上过一年数学课，才知道这是曲线积分的符号。所以说啊，在还没有解释数学是什么的时候，我们已经在记号、术语、公式的包围当中找不着北了。
其次呢，干数学活儿啊，离不开推理。推理讲究步步紧扣、有理有据。大多数听众做过几何题，证明的每一步都要说明理由，是吧？啊，只有记住了所有的理由，才能看懂这个题目的证明。对于现代数学来说，几何证明真的只是小 case 啊。高深一点的证明，它的依据大多数人看不懂，冗长的解释会让你觉得味同嚼蜡，望而生畏，只好放弃。
高尔斯说，他没有办法绕开这两道难题啊，但是呢，他会努力让读者理解数学思想，而不是陷入数学的技术细节。
复旦大学的李大潜院士，为这本书的中译本写了序，热情地推荐这本书。李院士评价高尔斯的努力时说呢：“他用简明生动的语言，介绍了有关数学的概念，看似如数家珍娓娓道来，但举重若轻，高屋建瓴，更好地揭示了数学的本质。”
说到底，数学是什么，这个问题不是那么好回答的。接下来，我们就从数学的要素和数学的创新手段这两个方面来看一看，高尔斯是怎么样回答这个问题的。
数学的要素有三个：模型、抽象和证明。下面我们一个一个地来说啊。
模型的全称叫做数学模型。你也许听过阿里巴巴和40大盗的故事，故事里有一个藏宝洞啊，洞里呀是什么宝贝都有，但是想要得到这些宝贝，必须知道秘钥——芝麻，叫一声“芝麻开门”，门啊就会打开，叫一声“芝麻关门儿”，门儿呢就会关上。如今数学家建立的数学成果，就像是藏宝洞里的宝贝，应有尽有。数学模型就是通往宝贝的密钥，只有建立了数学模型，广袤无垠的数学成果，才可以供你尽情地享用。有了数学模型，数学就有了用武之地，就可以进行完全准确的计算。
那什么是数学模型呢？我们通过一个例子来说明。
有一个炮兵接受了一项任务，长官要他操控一个炮筒，使得这门炮达到最大的射程。炮兵唯一能够采用的操控手段，是改变炮筒的仰角。显然，想要通过试验来获得最好的仰角，是费力不讨好的。那炮兵呢，想到用数学来求解这个问题。他先建立数学模型，假设没有风，地面是平坦的，炮弹离开炮筒的时候的速度呢，也是不变的。于是利用中学学过的牛顿运动定理，大炮的射程可以用关于仰角的公式表示。利用这个数学模型，炮兵只要将炮筒的仰角调到45度，就可以使炮弹射得最远。长官对这个结果不太满意，认为不够精确。他呢，又派了一个博士参谋去研究这个问题。博士考虑到飞行的炮弹受到空气摩擦阻力的影响，建立了一个复杂的微分方程。经过一大串运算，将最优炮筒仰角公式交给了长官。长官一看，傻眼了，啊，又是倒数，又有积分，实在看不懂。于是呢，命令博士去操作。博士说：“现在还不行啊，我得采集数据呀。”三天以后，他回来报告说：“我已经测量了沿线的风力情况，现在可以调试炮筒了。”然后架起了测量仪，花了一个小时调整炮筒，轰的一炮，结果呀，只比士兵远了10米。复杂的模型确实让结构优化了，但是长官更在意的是时间，而不是远了区区10米。于是呢，他依然让士兵去操炮了。
那这个例子告诉我们，尽管数学是一门精准的科学，但是我们建立数学模型呢，却要从实际出发，要针对问题做必要的简化。简化的标准有两个：够用、易解。数学模型常常是现实世界的一个简化，是抽取对象的本质特性构造出来的。掷骰子时候的概率、人口增长的速度、微观分子的运动，都可以通过建立数学模型来计算。
数学的第二大要素就是抽象。数学家柯朗有一句名言：“上帝创造了自然数，其余的是人的工作啊。”这句话含义非常深刻。这里就讲讲在数的扩充中，人是怎样进行工作的。人的工作能够取得成就，全部依靠抽象的作用。自然数就是一、二、三、四等等。如果说老师在黑板上写一个数字五，然后问这是什么，除了回答五之外，学生无法再说些什么了。但是老师画了五辆汽车而不写五，再问这是什么，学生会回答五辆汽车。尽管黑板上没有“五”这个字啊，可是呢，这个例子说明“五”是一个抽象的概念，它是综合五辆汽车、五本书、五只鸡啊等等客观事实以后的抽象。
如果老师在五辆汽车旁又画了一辆汽车，然后再问这是什么，多数学生不用再数了，直接就回答六辆汽车。回答这么快的原因，学生用了加法，而不是重新再数一遍。老师又在黑板上画了很多汽车，一个一个数太麻烦，于是他画一个圈，将五辆汽车圈在一起，结果呢，黑板上一共画了七个圈。这个时候学生就会回答35辆汽车，因为5×7=35。这次呢，用了乘法。加法和乘法，大大提高了学生们数数的本领，这就是抽象出数字得到的好处。
刚刚我们说的是正整数，是大量客观事实的抽象。抽象还带来了更多的数字，这就是人的工作。
第一项，人的工作是造了数字零。零是从诞生之际就是一个抽象物。零是加法的单位元，那就是任何数加上零，还是它本身。将零引入自然数的时候，曾经遭到过很多阻力。既然零表示什么也没有，为什么还需要它，很多人都这样问。不过时至今日，零在数学运算当中的巨大作用，已经使得人们无法离开它了。例如，在计算机时代，人们广泛采用的二进制，二进制中只有两个数，零和一，它们分别对应了电路中的断路和接通电源。断开，什么事情都做不了，可不就是零吗？哈。
第二项，人的工作是创造了负数和减法。这里说的负是正负的负。这个创造是用方程来完成的。假如我问，五加几等于七，很简单，答案是二。换一个问题，七加几等于五，为了使这个问题有解，人们造出了负数，规定7+-2=5。啊，这个二称为二的相反数。有了负数就可以定义减法了，两个自然数 A 减去 B ，就等于 A 加上负 B 。成功通过方程创造了负数之后，人的工作便一发不可收拾了。人们定义了分数，比如1/2，还定义了根式运算，比如根号二，定义了虚数单位 I ，从而造出了复数，这里的“负”啊是复杂的负，比如说1+2 I 。在这些创造数字的过程中，数学家在每一步都将加法和乘法推广到新的集合。等到造出了负数之后，数学家高斯证明了，人们利用方程造数走到了尽头。继续造数的人的工作，只能依靠极限或者是级数了。于是造出了圆周率派、自然常数 ，这类数称为超越数，甚至造出了称为无穷大的怪物，它已经不能算数了。
在造数的同时，人们造出了减法、除法、指数运算和它的逆运算、对数运算。在造出运算的同时，人们还研究了它们的性质。这种发展和应用都是抽象带来的成果，绝对不可能用黑板上画汽车来完成的。
高尔斯在前言中说：“如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是我们应当学习抽象的思考，因为通过抽象思考，许多哲学上的困难就可以轻易地消除。”可见抽象能力的重要性。
数学的第三大要素是证明，用来保证结论的正确性。我们知道，四是二的平方，16是四的平方，36是六的平方。从这些例子可以总结出来一个结论：一个数的平方是偶数，那么这个数一定也是偶数。这个结论仔细想想就知道是对的，但是在数学面前还是需要严格证明的。
证明需要分两步。第一步，先证明任意一个数要么写成2K，要么写成2K加一，这需要用数学归纳法来证明。第二步，采用反证法证明奇数2K加一的平方是奇数。那么反过来说，如果一个数的平方是偶数，这个数一定是偶数。这个过程告诉我们，一个严格的证明必须扫清论证过程中所有疑点，只要别人提出疑问，那么就需要证明。
数学证明有个最突出的性质，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。就是说，一个证明对不对，一定是可以判断的。其他科学就没有这个特性。例如，我们普遍认为地球绕着太阳公转是因为太阳的引力，对不对呢？最近有科学家说，单单靠引力是不可能的，因为引力太小，不足以维持地球公转需要的向心力。有人提出，宇宙中有暗物质，它是主要原因，但是这个又对不对呢？啊，至少目前无法判断。
好在第一部分我们说了数学的三大要素：模型、抽象和证明。模型是应用数学的基础，没有数学模型，数学便一筹莫展；抽象是数学广泛应用的前提，正因为抽象，数学才无所不能；证明是数学可靠性的保障，它让我们放心地使用数学。
好，第二部分，我们来说一说数学的创新手段。这里介绍了四个数学专题：无限、维度、几何、估计与近似。介绍这些专题有三个作用：一是为你展示数学的魅力，二是普及数学研究的方法，三是让你感受到在数学的发展中几度柳暗花明的经历。
我们先来说说无限。现实世界都是有限的，照霍金的说法，宇宙也是有限的。数学创造无限这个“怪物”，目的是提高自身解决现实问题的能力。在走投无路之际，无限常常让数学家绝处逢生。中学老师说，无理数是无限不循环小数，这个定义使得学生第一次在数学世界中邂逅无限。根号二就是一个无理数，写成小数就是1.4142135，后面还有一串无限不循环数字。但是老师讲过无理数的加法吗？比如两个无理数根号二和根号三怎么加？回忆一下有限小数的加法，1.11+2.22，这很容易对齐小数点从右开始加。对于两个无限不循环小数相加，例如根号二加根号三，写成小数就是1.4142135点点点，加上1.7320508点点，怎么加？右边没有底了。数学的处理是这样的：首先肯定这两个无限小数的和是唯一存在的；其次，只要你给出一个精度，譬如说精确到小数点后100位，那么我可以给你一个小数点后100位绝对正确的和。这里的关键是，对于任何指定的精度，都有办法找到一个达到这个精度的有理数作为近似，这种技术称为有限逼近，算是19世纪数学的一大进步呢。
回到刚才的问题，你要问根号二加根号三等于几，我先问，请问你需要精确到小数点后几位？那你说三位，我回答3.164；你说五位，那就是3.16462。如果你不给精度了，那么我就造一个无限长的序列：3.1、3.16、3.164、3.1646、3.16462等等。这个序列存在极限，这个极限就是根号二加根号三的小数表示。高尔斯说，数学对象的意义在于它能做什么，而不是它是什么。你给出精度要求，我就给你一个达到精度的答案；你不给精度，我就回答一个序列，这样数学就尽到职责了。这个例子说明，在有限不能解决问题的时候，数学引进了无限，因为它非常有效。由于无限在表达上存在困难，我们就用有限去逼近无限。数学认为对于应用而言，有了这种逼近的方法就足够了。
第二个专题关于维度。平面世界是二维的，现实世界是三维的，这里的维就是维度的简化。有人将随着时间变化的三维空间称为四维空间，其中第四维指时间。在现实世界，五维及五维以上的空间就很难想象了。那数学世界里的多维空间是怎样的呢？就拿四维空间来说吧，把四个有序排列的实数用个括号括起来，就称为一个四维向量，这四个实数依次称为第一分量、第二分量等等。四维向量全体组成四维空间。类似的，每加一个分量就将空间的维数增加了，可以定义五维空间、六维空间，甚至一般的N维空间。在上面的方法当中，分量只能一个一个地增加，因此维数只能一维一维地增加。有没有办法增加一个小数的位数呢？数学家不会在一棵树上吊死，他们一定会想方设法另找一棵树继续开发。
我们换一个角度来看维度。在二维平面上，一个边长是一的正方形，放大三倍，得到九个这样的正方形；在三维空间里，一个边长是一的立方体，放大三倍，得到27个这样的立方体。可以得出一个规律：在N维空间里，把一个东西放大三倍，得到三的N次方个它本身。根据这个性质，数学家造出了将近1.265维的空间。具体的做法是这样的：将长度是三的线段分成三段儿，每段长度是一，然后在中间一段上做一个等边三角形，再将底边擦去，这是一段中间隆起的折线，总长度是四。这种隆起折线就是新空间中的基本单元。做一个等边三角形，把每条边分成三等份，重复之前的动作，这样就造出来一个科赫雪花。在音频下方的听书笔记当中有示意图。把科赫雪花里的一个基本单元放大三倍，得到四个它本身，也就是说三的N次方等于四，N近似于1.2651。这一部分听起来比较烧脑，配合示意图会容易理解一些。总之，数学家不但造出了多维空间，还造出了小数维空间，所用的方法是找一条新的路。这种小数维的空间也被称为分数维空间，在分数维空间上，数学家发展了一种叫做分型的理论，这种理论在计算机图像识别技术中有重要的应用。
好，再来看第三个专题，讲几何。可能你会认为几何是个熟悉的话题，但是高尔斯调侃说，大多数人熟悉的几何，如果他们的确熟悉某种几何的话，就是欧几里得几何。哈，言外之意很丰富。首先，几何有好几种，欧几里得几何就是大多数人学过的平面几何，是最普通的；其次，即便是欧几里得几何，高尔斯认为大多数人是没有真正理解的。在讲证明的时候，我们说过，任何一个推理都需要有已知结论支撑，那么最基础的结论是什么呢？在几何学中，最基本的结论叫公理，那就是不用证明就认为成立的结论。欧几里得的几何原本一开始讲述了五条公理。前四条是这么说的：第一，任意两点之间存在并且只存在一条直线将两点相连；第二，任意一条直线段的两端都可以延长成为一条直线，这条直线是唯一的；第三，给定一点和一条线段，一定可以作为一个以这个点为圆心，这条线段为半径的圆；第四，任意的两个直角相等。前面这四条都很容易理解，唯独这最后第五条公理引起非议。第五条公理等价于我们数学课上学过的平行公理：过直线L外一点X，有且只有一条直线与直线L平行。在刚才的前面四条都是叙述看得见的事实，例如说第一条这样啊，过两点可以做一条直线，而第五条呢，却是发生在看不见的地方，就是说两条直线在看得见的地方都不相交，那么看不见的无穷远的地方会不会相交呢？一直到19世纪，很多人都想从前面四条公理出发来证明这第五条公理，很可惜，这些证明都不靠谱。
既然第五条公理证不出来，19世纪以后，数学家开始思考第五条公理是不是跟前四条公理没关系，是不是一个独立的公理。要证明一个结论跟其他结论没关系，这是多么怪的要求啊。一开始数学家们走投无路，但是数学家不肯认输，他们仔细分析这五个公理，发现前面四条公理都限于局部，但是第五条涉及无限，这个差别能不能用来证明第五条公理的独立性呢？这个想法犹如在黑夜中点了一把火，给前进带来了希望。数学家着力去找一种曲面，在这种曲面上，前面四个公理都满足，唯有第五条不成立。一旦找到了这样的曲面，第五条公理的独立性就证明了。数学家还真就找到了这样的曲面，这个曲面称为双曲曲面。在音频下方的听书笔记当中有给出示意图。过直线外一点，至少存在两条与它不相交的直线。双曲曲面还有另外一个奇特之处，这里三角形的内角和总小于180度。在宇宙中是确实存在这样的三角形，选择地球和另外两颗星为三角形的三个顶点，从地球上观测这两颗星星，光线组成三角形的边长，单位是光年，假设太阳在这个三角形的中间。早在1919年，科学家就测量这个三角形的内角和小于180度，这说明空间因为太阳的引力而发生弯曲。就大尺度的时空形状而言，双曲几何大有用武之地，可能是比地球面几何和欧式几何更好的模型。
好，最后一个专题是估计与近似。高尔斯说，对于很多问题而言，如果能找到精确解，那简直是奇迹。在多数情况下只能够找到一个近似解。如果你执着于精确的结果，对这种近似解不屑一顾，那么就可能错过数学中很多伟大的定理和有趣的问题。素数我们都听说过，素数是不能分解的，其他的数都是它们的“基因”，此素数被认为是自然数的根基。在欧几里得的年代，素数就备受青睐，他老人家证明了素数是无穷的。在以后的研究当中，素数的分布是一个备受关注的问题。在1~10之内有二、三、五、七这四个素数，在1~100之内呢，有25个素数。但是随着范围的增大，素数分布变得疏朗起来。给定一个自然数N，问在一到N之内有多少个素数，很多著名的数学家研究过这个问题，发现不存在一个公式可以表示出一到N之间的素数的个数。代替精确公式的呢，是一个估计，称为素数定理。定理说一到N之内约有N除以logN个素数。用前文说过的1~10之间有四个素数，在1~100之间有25个素数来验证，精度基本可以。这个定理最大看点是用了“约有”这样一个不确定的词，当不能给出准确结果时，给出一个估计的结论，是数学研究的又一大进步。
作者举了四个例子，是想说明数学是怎样创新发展的。首先是突破现实世界是有限的这个事实提出无限，解决了众多有限不能解决的问题；其次呢，是建立起分数维空间的数学模型，说明维度这个概念是怎样拓宽的；第三是通过对欧几里得五个公理的研究，将几何从平面几何拓展到曲面几何；最后，在不能精确计算的场合，数学用估计的方式获得突破性进展。
在这本书的最后，高尔斯回答了人们关于数学的一些疑问。比如为什么有那么多旗帜鲜明地讨厌数学，有人明显地厌恶数学，不是因为数学很无聊，而是在数学课上的经历很乏味。数学总是在自身的基础上逐步构建，所以步步跟进很重要，有的人一节脱节，就造成了后边跟不上，逐步由一知半解到一窍不通了。还有个问题是，有没有著名数学问题被业余爱好者解决过，答案是没有。世界各地的数学家常常收到一些信件，寄信人声称他们解决了某某著名问题，但是事实上呢，这些解答错得非常滑稽。有些人对数学研究的难度没有概念，不了解做原创性的工作需要长时间的积累，也不知道数学是一项需要集体合作的活动。最后，数学家为什么会认为某些定理和证明是美丽的，数学会给人带来愉悦，这种愉悦与传统的美学带来的愉悦有很多共同之处。可能从美学观点来看，数学家比艺术家缺少个人特质，我们常常会敬仰一位数学家的美丽的证明，而将这项工作背后的关于人的故事淡忘了，结果愉悦我们的还是数学本身了。
现在我已经讲完了高尔斯的数学，你对数学是什么的理解是否深了一层呢？本质上，数学是一种公理化的抽象科学，它在公理的基础上演绎自己的成果，这时它视严谨为生命，步步为营，言必有据。然而数学根本目的是应用，建立公理系统要有实用性，而在应用数学成果的时候，只要能用就行。是不是听上去有点矛盾呢？不过就是这种特征使得数学不断发展，而且不断为人类社会的进步做出独特的贡献。好，《好数学》这本书就为你解读到这儿，听书笔记在音频下方，我们明天见。
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