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《数学犹聊天》
铛铛铃2025-09-13【科普】1人已围观
简介
今天为你解读的这本书叫做《数学犹聊天》，副标题是“人人都有数学基因”。
《数学犹聊天》这本书正如标题所表达的，讨论了数学和语言学的关系。这两门看似毫无关系的学科，其实啊，是具有某种相似性。人类似乎天生具有语言能力，那数学能力会不会也是与生俱来的呢？每个人都有着数学基因吗？为什么有些人是数学白痴，有些人是数学天才？
在作者德芙林看来，数学就跟聊天一样简单，解题技巧不是学习数学的最终目标，我们需要学会的是像数学家那样思考。不管你是迷恋数学还是憎恨数学，或者被数学吓倒，这本书你都不可错过。
这本书的作者基斯·德芙林是斯坦福大学语言与信息研究中心高级研究员，他的研究重点是通过不同的媒介向公众普及数学。目前他已经撰写了30多本书，包括《千年难题》《数学天赋》《数字化的生命》等等。他还是美国全国公共电台数学普及节目主持人。德芙林坚持每个月更新博客，在他的博客里，自行车、轮胎和美国大选都能够跟数学扯上关系。
这本书共有25万字，在章节排布上，是顺应了人们探索问题时的自然思考次序。我会依照作者的思路，分三个部分来讲述数学和语言学的关系。
第一部分，数学是什么，数学家们想什么？
第二部分，语言是什么，语言能力是怎么来的？
第三部分，数学和聊天之间有着什么样的关系？
现在我们就来讲第一部分，我们来聊一聊数学。
我们不妨先思考一下，一般来讲，人们印象中的数学是什么样的？是课本里一个个念出来的困难、要光是听几乎无法理解的句子吗？例如这：
“第一章习题第12题，市政命Z的实部大于零，当且仅当一减Z除以一加Z的模小于一。”
偶尔后面还会挂着一串读不出来的表达式。现在你是不是顿时感到了焦虑？数学如此的不可理喻，有那么一群人倒是沉迷其中，也就是数学家。如果条件允许，他们可能会一直沉迷其中，就像阿基米德在罗马人侵略进城时，正忙于计算几何题，无暇兼顾战乱而被士兵刺死。
能表现数学家天赋异禀的趣闻轶事有很多，比如高斯与等差数列的故事、欧拉与一笔画的故事、费马与费马大定理的故事。几部数学家的传记电影，比如说《美丽心灵》《模仿游》《知无涯者》，让约翰·纳什、图灵、拉马努金这些名字为人所知。每当人们谈起拉马努金，常常认为他可以和数学公式对话，这并非是事实，但也不是凭空虚构。现实中的拉马努金不会真的跟数字聊天，但是他可以一看就知道数字的底细，就像我们看到朋友的名字，就能想起朋友的脸。给你举个例子啊，拉马努金有一次听到数字1729，他立刻就想到了1729可以用两种方式写成两个立方数的和，一种是12的立方1728和1的立方相加，另一种方式是9的立方729再加上10的立方1000。这联想的过程自然到如同一般人见到张大明和张小明这两个名字在一起时，都会嘀咕，他俩会不会是兄弟？
数学家们把数学当成常识，那为什么普通人和数学之间却有着隔阂呢？作者对此的回答是，数学事件与常人生活有隔阂，这是对的，可是这个隔阂跟一般人认为的不太一样。作者先提出了一个房子的比喻，来描述数学家们思考时的状态。数学家遇到一个数学问题，他们会在头脑当中开始建一座抽象的房子。刚建房子时，会画蓝图、做计划、熟悉布局、选择家具，但房子一旦建好了，蓝图与计划就可以丢弃，只要集中精力去布置家具。理解数学问题好比熟悉房子的布局，而研究数学就好比布置家具，思考问题呢，就好比在房子里生活。
所以啊，当我们遇到数学问题时，首要任务是造房子，也就是理解数学。想走进这房子并不轻松，这座房子是由抽象的数学对象构成的，并且用抽象的逻辑与结构关系固定。让我举个例子来表现抽象是如何难的。设想，我现在用四张扑克跟你玩个游戏，四张扑克牌均不相同，背面颜色它只有红色和黑色这两种。我把它们并排放到桌面上，两张背面朝上，两张牌面朝上。背面朝上的两张是一黑一红，而牌面朝上的两张，一张是三，一张是Q。问题来了，如果要说明命题“红色的扑克牌一定是数字牌”是错的，翻转哪几张牌会有可能得到反例？一般人可能都会想到，应该看看红色背面的那张是不是数字牌，但很少会有人意识到选择Q牌也可以，如果Q牌背面是红色，也能说明红色牌一定是数字牌是错的。这是英国心理学家沃森引入的测验，回答齐全的被试者很少，但这并不能说明人们的反正能力薄弱，因为保留逻辑结构，将问题换一种形式，就几乎没有人会回答错误了。
我们再来看看这道题目，说是酒吧里正在举办青年派对，一群青年人呢，举杯欢笑，这突然，你扮演的警察叔叔来查酒吧了。在美国，未成年人喝酒是违法的，你得判断哪个青年是未成年喝酒的坏家伙。你查到了四位青年面前，他们一个正在喝酒，一个正在喝柠檬汁，另外两个人的杯子已经不在了，但你知道这两个人当中，一个是成年人，一个是未成年人。你可以查验身份证信息，或者检验酒精，现在问题来了，四个人之中，你应该查哪几个人？这就很简单了，你应该查那个未成年的和喝了酒的。既然规则是未成年人喝酒违法，当然就不关不喝酒的人和成年人的事儿了。
其实啊，这两个问题的逻辑结构都是完全相同的，但是一般人呢，往往会觉得后一个问题简单到爆，却不会对第一个问题说当然了。人们面对逻辑问题时，他们薄弱的不是逻辑推理能力，而是理解题目的能力，也就是理解抽象事物的能力。在作者的房子比喻当中，为房子画蓝图就好比读题，而实施计划就好比构建问题的数学模型，建好了房子就好比数学模型构建成功。自此之后，原来那个问题的具体情境和遣词造句，就可以抛开了。数学家与常人解题时效率的巨大差距，大多都是在画蓝图那一步给拉开的。数学工作的关键是建房子，也就是抽象这一环。
抽象能力本身可以分出多个层次，最低的层次是只能理解眼前能看得见摸得着的现象。第二个层次的抽象，是可以涉及不在眼前的事物，比如说动物园里的驯兽师把香蕉藏起来了，黑猩猩会想方设法地得到那根香蕉，也就是黑猩猩有第二层次的抽象能力。第三层次的抽象，可以理解为从来没有见过的、不认识的事物，比如我们把独角兽描述成额头上长着一只角的马，通过这种描述，我们可以想象出来独角兽的样子。再往上的第四层次就是数学所在之处，第四层次的抽象，可以构想出完全没有形体的事物，例如数字一。世界之大，似乎只有人类获得了第四层次的抽象能力。人类是怎么有了第四层次抽象能力的呢？这其实与另一个事实——人类获得语言能力是离不开关系的。
刚刚我们讲了数学是什么，下面我们就来说一说第二部分——语言，我们是如何掌握语言的呢？想要了解这个问题啊，其实是困难重重。谁也没有办法去采访一名婴儿，让他来告诉你，他是如何由听不懂话变成听得懂话的。我们也没有办法直接了解一个人是如何掌握母语的。当今对语言启蒙的探究正处于百家争鸣的时代，各种理论一直在遭受否决或者修正。例如模仿说曾经一度风行，这类假说认为孩童说的所有的话，都是通过模仿身边的人学会的。这类假说显然无法解释孩童为什么能够说出家长从来没有说过的句子。还有一类假说，则是把语言按照语义逻辑分为若干层次，小孩子会先掌握底层，再接触更为精细的表层，也就是说要先学会字母、单词、语法，然后才学会说出句子。这类假说显然是把孩子习得母语的过程误认为是学习第二语言，以为牙牙学语是由下而上搭建的逻辑大厦，这类假说也有问题，因为婴幼儿在意识到语法的存在之前，常常就已经说出了符合语法的话，甚至能指出别人说的话不合语法。牙牙学语跟长大后学习语言规则的过程是不同的。
尽管有过许多对牙牙学语的不正确的理论，有个事实始终出现在我们身边，在两岁到三岁之间的某天，小孩子突然就不再说车车、麻麻等婴儿用语了，而是说出了屋子很大、我肚子饿等合乎语法的句子。使用不同母语的孩子们最初开口时说出的话，其语法词法却表现出惊人的相似，都是主谓结构，也就是一个名词加一个动词，比如我生气了、小狗走了，几乎在任何一种语言当中，这样的句子都是小孩最早掌握的句式。首先发现这一现象并且试图寻找背后秘密的是美国语言学者乔姆斯基，他注意到，语法结构犹如一种生物本能，生而有之。如果不是这样，我们就无法解释人类语言多样化之下暗藏的统一性。作者赞同这一说法，作者认为语言这种能力并不是大部分人所想的那样，是后天习得的，他认为语言能力是一种人类的本能，就像呼吸一样，获得它不需要后天的训练。
生来会说话的假说带来一个很直接的问题，人如何演化到连语言能力都写入了遗传基因，又如何通过这个本能去掌握语言？对这个问题的回答，就跟回答人类是怎么演化成用两条腿走路的一样，看似容易，其实困难。在原始世界，智力本来是一种非常弱势的能力，石头用的再好，带队配合的再棒，也敌不过洪水猛兽。然而智力至少让人类的祖先幸存下来，繁衍生息了。后来，智力慢慢发展成为了优势，那是个艰难又漫长的过程。距今大约20万到7.5万年前，这个种族的大脑结构发生了一个决定性的改变，使得智力在之后渐渐成为了史上最强兵器。现代科学并不确切地知道那个改变是如何发生的，只知道它出现的很突然，在常常以千万年为尺度的演化史上看，它的横空出世只发生在万年甚至千年间。关于这个关键的能力，它并不是语言能力，也不是数学能力，它其实是抽象思考的能力，尤其是前面提到的所谓第四层次的抽象能力。它有多重要呢？一句话概括，它是现代意义上一切智力的基础。
然后作者继续将他的理解往里推了一下，他认为有一种非常特殊的抽象能力，比其他的更重要、更基础，这种能力被形象地称之为离线思考。在关于数学思维的房子比喻当中，数学家思考数学时，注意力从环境当中抽离，进入抽象世界的房子，这个过程就是一次典型的离线思考。我们很难给离线思考一个确切的定义，作者打了一个比方，他说对外来刺激作出反馈，是人类大脑最常用的功能之一，大部分生物的思维中枢都有这个功能。现在我们可以大胆的想象，大脑其实不只有一个，还有另一个大脑正附着在刚才说的那个大脑上，但是这第二个大脑是一个瞎子，他看不到外部世界，只能接收到第一个大脑过滤并存储下来的信息。两个大脑的工作过程粗略的给大家讲一下，大概是这样的：当你听到一段音乐旋律，触动了你的音乐细胞，陶醉其中，这一段是你第一个大脑在工作，也就是对音乐这个外部刺激做出反射，这时候第二个大脑只能在旁边默默的观察。之后，你又在美术展上看到了一幅油画，产生了类似的感动，然后呢，你来到了美术馆隔壁的溜冰馆，溜了一会儿旱冰，感觉到超级无聊。经历过这三种情境之后，别人问你是选择参加田径会还是书友会，你很可能会倾向于选择书友会，即便在这之前你从来没有参加过田径会或者书友会，他们都属于未知事物，但是你却能神奇地掌握了与未知事物相关的知识，也就是你会比较喜欢书友会。假如只有第一个大脑在工作，你不可能对未知事物产生了解，这一切多亏了第二个大脑的存在，他观察着第一个大脑的工作过程，观察着他是如何理解那三种情景，并对信息加以整合，归纳得出新的知识。由于缺乏亲身的体验，你不能确定喜欢和阅读的联系，但是可以通过喜欢与美术、美术与文艺、文艺与文化、文化与阅读等一组组关联，在喜欢和阅读之间建立起某种关系，从而选择了书友会。关于书友会的感受，并不来自你的实际经验，而来自对以往经验的归纳整合，也就是说，第二个大脑的工作使人能够思考，理解那些不在眼前的东西，甚至永远也不可能遇见的东西，并从中学习到新的知识。
也许这一大段比喻的童话色彩太强了，听起来就像是迪士尼·皮克斯的动画电影《头脑特工队》。虽然刚才我不断的在说第二个大脑，其实人类并没有像这样的一个器官，这里说的只是大脑的一种能力，也就是离线思考，这是大脑对自身进行的思考，也可以理解为是一种构建假想空间、假想关系的思维能力。
我们再回头看看之前的问题，人类是如何演化到生下来就会讲话的？这个问题的答案很可能就是离线思考。首先，它是大脑的一种具体的功能，现代神经科学正在快速发展，对离线思考的物理基础也有了越来越多的了解。其次，如果它就是人类学习未知事物时的主要机制，可以推断婴儿在学习母语时的主要认知机制也正是它。可以说，离线思考能力正是连接人类生物本能与语言文化差异这两个领域的问题的桥梁。目前，学界对离线思考能力的本质了解并不很深，但就目前来讲，我们大可以认为抽象思考是语言表达的逻辑内核，而语言表达是抽象思考的外在表现。语言和思维的关系就说到这了。
接下来是第三部分，作者写这本书，想说的是另一个没有那么被普遍接受的观点，那就是数学很像闲聊。如果说聊天是思考的亲儿子，那么数学和聊天的关系就是亲兄弟。我们绝大部分时间把语言能力运用在哪里呢？没错，那就是本书标题里的gossip，也就是中文里的八卦闲聊。所谓闲聊，就是人和人说话时，想到什么就说什么，不在意说的话是否是正确，有没有用，这是一种最接近自然而然的状态。在轻松自然的氛围之下，人的措辞最接近抽象思维的本来面貌。
作者在书中提供了这样一个案例，在巴西，几名心理学家测试了一群小学三年级学生的数学运算能力，考场测试当中，尽管试题只涉及三位数以内的加减法，孩子们的得分也是低到可怜，100分这下平均分只有14分。但是在跟访调查当中，研究者发现孩子们在菜市场货摊做生意时，他们的计算能力非常的优秀。当一名顾客以200货币购买价值35货币的商品时，这个孩子很快就能取出165货币找零，找零时，研究人员偷偷的录下了他的自言自语：“如果是30，那么就是70，但是他是35，所以应该是65来找您165。”这个孩子的计算过程不难理解，他不仅得到了正确的结果，而且实际上他用的算法也跟小学课堂里教的算法相差无几，但为什么在考场上他就是回答不好200-35呢？这个孩子是考试制度的牺牲品吗？不是的，和前面提到的翻扑克牌逻辑游戏同一个道理，这些孩子在考场上的失利应归罪于理解题目难，而不是计算能力差。
其实这跟聊天的情况是一样的，通常来讲，在社交聚会上能言善道的人，文字功底往往不会比一般人好，站在演讲台也不一定能够施展出好口才。社交聚会、文字书写、演讲表达，他们之间有着无法忽视的差异，尽管他们都是语言能力的应用。演讲是一种需要训练的语言应用，这一点跟数学工作很像，同时也跟数学工作一样，总有一类人能够轻轻松松的就把演讲做好，在这一类人的眼中，演讲或者数学只是一种闲聊。如何把一项专业技能练成闲聊般轻松呢？作者给出的回答是像闲聊一样对待他们。你听到这里肯定犯嘀咕了，这不废话吗？我就是没有办法做到像闲聊一样轻松吗？毕竟啊，轻松运用一项技能是娴熟掌握的结果，我怎么能一上来就做到轻松对待呢？作者其实是指出，以提高效率为目的的习题训练对提高数学能力没有帮助，这种训练没有磨练到人的高级抽象能力，我们应该让学习过程变得轻松。
在现代中小学里，数学是普遍难教好的一门课，相当一部分人认为数学学不好是因为教师水平不足，或者是学生智商不高。作者不同意这个说法，作者认为教育的弊病在于学校没有提供给学生有意义的、有魅力的做数学的动机，让课堂数学变得越来越像体育训练。其实我们生活当中并不缺乏运用数学的机会，比如如何设计合理的影视评价计分法，如何借三角函数和几何定理目测物体的距离、面积与方位，这些都可以转变成数学问题，包括电子游戏当中的武器搭配、材料采集，都是现成的资源调配问题。当人们抛开数学，沉浸于电子游戏，未必是真的怕做逻辑推算，只是繁琐的数学习题让人们以为推算只会留在教室里。
就拿电影评分系统来说，假设我看了一部电影，觉得非常棒，推荐给朋友们，而朋友去看了却觉得不好，然后我们就被电影吵了起来。当然了，电影都有优点和缺点，我俩谁也说服不了谁，都希望搞清楚到底在哪边，希望能够得到公正的评判。影评网站就是为这个目的而诞生的，以Matt Critic和烂番茄这两家网站为例，他们的评价都来自知名媒体或者影评人，只是统计总评价的方法不同。Matt Critic是先获得一些范围在0~100的数字评分，再取全体评分的平均数当做总评，而烂番茄则是将媒体评论划分成为好评和差评两大类，然后拿好评在全体中占的百分比当做总评，也就是烂番茄新鲜度。两家的原则都是较好的越多，电影评分越高。当对电影的评价不是一边倒时，这两家就有意见分歧了。打个比方啊，某校的一次期中考试，一个班50个人全部都考了50多分，另外一个班呢，30人考了40多分，20人考了90多分，平均分有60多分，问哪个班的考试成绩更好时，Matt Critic会按平均分说第二个班更好，而烂番茄则会放大及格线的影响，说第二个班不好。数学不会断言说这两种说法谁好谁坏，只会说两家对公正的理解不一样。Matt Critic保留的信息量更多，但是影评毕竟是主观的，评分太细致不一定更合理。由此可见，数学不一定只会为科学研究服务，它也会时不时出现在电影评价这样的生活场景当中。当我们遇到类似对电影评价的分歧时，数学的加入会让问题变得更加清楚。习惯参考影视评测的人，不仅能够清楚自己正确在哪里，还可以理解别人正确在哪里。如果以对待体育技能训练的心态对付影视评测，也许采样平均分值就一直都是一些冷冰冰的统计学术语了。
你看生活中的问题可以抽象出数学模型，那么反过来，我们可以像解决生活难题一样去对待数学问题。学习数学常常在边用边学的过程当中就完成了。教育者是时候明白，每个人都应该学会数学这样的理想是错误的，数学教育的理想应该是每个人都应该学会像数学家解决数学问题那样去解决问题。
作者谈完自己对数学教育的见解之后，全书基本上就结束了。回顾这本书，作者提出了三大问题，分别是：
第一，数学是什么，数学家们在想什么？我们说了，数学是与抽象世界交流的工具，数学家们在努力理解纯粹抽象的东西。
第二，语言是什么，语言能力是如何来的？我们也说了，语言是与生俱来的能力，这种能力是演化的偶然结果，能让人类进行抽象思考。
第三，数学和聊天之间有什么关系？答案是，他们都是抽象思考能力的产物。
希望通过对这本书的解读，我们可以放下对数学的偏见，觉得数学就和聊天一样亲切。如果我们都能够像对待聊天一样对待数学，不以解题技巧为目的，我相信你会发现数学的可爱之处。
好了，《数学犹聊天》这本书就为你解读到这里，听书笔记在音频下，下一本好书与你再会。
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