您现在的位置是：网站首页>科普科普
《费马大定理》
铛铛铃2025-09-13【科普】1人已围观
简介
今天为你解读的书是《费马大定理》，副标题是“一个困惑了世间智者358年的谜”。1994年9月19号，或许对于你来说，这是稀松平常的一天，但是对于很多数学天才来说呢，却是永远地错过了一个机会。因为这一天，数学家怀尔斯完成了费马大定理的证明，这就像是给数学界投下了一颗炸弹，引起了极大的轰动。一个牵动世界各地数学家的问题，历经358年，终于得到了解答。为什么一个数学问题能够牵动这么多聪明的头脑呢？
在人类探索自然规律的过程当中，数学几乎是被用到每一个学科当中，特别是物理学，从牛顿的经典引力到爱因斯坦的相对论，都可以用数学方程式来描述。数学成为科学家解释自然现象的语言，驱使着数学家们正视发现真理的欲望。
这本书的作者是英籍印度人西蒙·辛格，这位辛格先生是物理学博士，曾经参与BBC获奖纪录片《地平线：费马大定理》的制作和导演。尽管这本书分类上是科普类，但是书中没有大篇幅地介绍费马大定理的证明过程，而是讲述了数学家们为之疯狂的故事，展现了一个美丽而又充满智力挑战的世界。具有初中数学基础的听众能够听懂70%，有高中数学基础的几乎可以听懂90%以上。当然了，你需要仔细听。
这本书一共23万字，我将分为三个部分，带你领略这个传世之谜的魅力。第一部分，费马大定理是怎么诞生的；第二部分，在费马大定理真正被破解之前，数学家们做了哪些努力；第三部分，怀尔斯是怎样破解这个难题的。
好，首先进入第一部分，费马大定理是怎么诞生的。故事要从古希腊数学家欧几里德和丢番图讲起。大约在公元前300年，欧几里德写了一本《几何原本》，共13卷，保存完好，明朝的徐光启还将其翻译到了中国。几百年之后，丢番图也写了一本数学书，叫做《算术》。人们常说，数学是研究数和形的科学，那么《几何原本》讲的是形的理论，而《算术》则是讲述数的理论。《算术》原本也是13卷，但是只有六卷逃脱了欧洲中世纪的战乱，流传了下来。尽管传下来的《算术》只有六卷，仍然是被视作数论的经典著作，被翻译成各种语言流传开来，其中法语版的《算术》就引出了我们今天的主题——费马大定理。请先记住这本法语版的《算术》，稍后我们会接着介绍它与费马大定理的关系。
我们再来说一说这个谜题的主人费马。费马的全名是皮埃尔·德·费马，名字中间插入“德”，是贵族身份的象征。1601年8月20号，他出生在法国西南面的一个小镇。他的父亲是一位成功的商人，这使得费马在青少年阶段得到了良好的教育。出于家庭的期盼，费马走上了文职官员的生涯，他先在家乡做一名法院顾问，费马仕途顺畅，一直做到当地的大法官。据说费马为官比较亲民，以体恤和宽仁为怀，工作勤勉，但对职务的晋升没有多大抱负，因为他把业余的时间都用在钻研数学上了。费马被后人称为“业余数学之王”，因为他的本职工作是法官，但是也有人说，费马不能够算是业余数学家，因为很多专业数学家的成就都不如他。
我们罗列费马的一些成果，来说明他在数学方面的造诣。费马和法国数学家帕斯卡一起创立了概率论。牛顿曾经在自己的手稿上写道，他是在费马先生的画切线的方法基础上发展了微积分，就是让那个很多大学新生们都头疼不已的东西。费马最杰出的贡献是在数论领域，例如他找到了第二对亲和数。所谓亲和数，是指两个数中，一个数除本身之外的因子之和正好等于另一个数。公元前，毕达哥拉斯学派找到第一对亲和数220和284，220的因子一、二、四、五、十、11、20、22、44、55、110，它们之和正好是284。类似的，284的因子之和正好是220。在古希腊甚至是整个欧洲，220和284这一对数也称恋爱数，长期被认为是爱情的保护神，所以在那儿有一个习俗，将一个刻有220的苹果自己吃掉，而将另一个刻有284的苹果送给所爱的人，这是水果版的浪漫情书。2000年以后，费马找到了第二对亲和数17296和18416，这一发现令费马名声大振。
费马在数论领域成就颇丰，不过他的那些知识完全是自学的，主要课本就是我们前面所说的那一本法语版的《算术》。这本《算术》印刷比较讲究，页边留有较多的空白。这本书上有100多道题目，并且附有答案，费马就将自己觉得巧妙的解法或者是推出的新结论写在这些空白处。16世纪以来，法国的数学家喜欢炫耀自己，常常因为自己的一个新结论而沾沾自喜。数学家会将获得的结论告诉别人，但是不愿意公开证明过程或者是求解方法，费马就是非常典型的这种人，陶醉在自我发明当中。费马会写信给法国、英国的数学家，告诉他们自己的新结论，但从来不将证明过程告诉他们，反而是挑战性地说：“你能不能证明啊？”所以说，费马留在《算术》书旁的常常只是结论，即使有证明也是含糊不清的。
费马在1665年1月去世，由于他吝啬公布证明，很多成果很可能是随着他的逝世而永远淹没。幸运的是，费马的儿子克莱蒙·塞缪尔将父亲遗作出版，尤其是对那本记载着费马众多发现的《算术》整理出版，这本书的书名是《附有皮埃尔·德·费马评注的丢番图的<算术>》，出版于1670年，共包括费马评注48个，其中第二个评注就是我们所说的费马大定理。
费马的第二个评注是写在毕达哥拉斯定理旁边的。毕达哥拉斯定理在中国也被称为勾股定理，也就是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，可以表达成X的平方加Y的平方等于Z的平方。毕达哥拉斯方程有无穷多组解，例如三、四、五；五、十二、十三等等。注意六、八、十这组数，算是与三、四、五等价的解，因为它是后者乘以二得到的，没有新意。费马将毕达哥拉斯方程当中的指数二换成了三，试图找到它的解，没有成功，改成四也无解。于是在原书的问题旁边，费马写下了下面的结论：不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次幂写成两个四次幂之和，或者总的来说，不可能将一个高于二次的幂写成两个同样次幂的和。最后一句话就是费马大定理。为了以后叙述方便，称X的N次方加Y的N次方等于Z的N次方为费马方程，这里的N大于二。在这个注释的旁边，费马还夹有一句充满挑逗性的话：“我有一个对这个命题十分美妙的证明，这里的空白太小，写不下。”据说这一段评注大约是写在1637年前后，但是除了那本带有费马评注的《算术》，没有记载能够表明费马曾经在别人面前炫耀过他的这项发现。费马提出的其他结论都陆续被后人证明，只有这个定理一拖拖到了1994年，因此也被称作费马的最后定理。
在解开这个谜题之前，费马大定理如何牵动着这个星球最有才智的人们，这就是第二部分要讲的内容。我们接着往下说。第一个在费马大定理当中取得进展的科学家叫莱昂哈德·欧拉，是个瑞士人。欧拉被称为能解决任何难题的人，在数学的多个领域有着非凡的贡献。可以说，如果说你碰到一个自称懂数学的人，但是他不知道欧拉，那这个人一定是个骗子。大约在费马逝世90年之后，欧拉开始挑战费马大定理。他原始设想是先对一种特殊情况，例如指数是三或者是四的情况，来证明费马大定理，然后再推广到一般。欧拉果然非凡，他从费马的遗作当中发现，实际上费马在那本带评注的《算术》这本书的另一个地方，隐约地证明了指数等于四的时候，费马大定理是成立的。费马用的是无穷递减的反证法，这个反证法比较复杂，我们就不展开介绍了。1753年，欧拉给提出哥德巴赫猜想的哥德巴赫写信，他已经用费马的无穷递减法得到了指数等于三的时候费马大定理的证明。然而，好的开始并没有导致最后的成功，欧拉没有能够将对于四和三的证明推广到一般情况。他是这个世界上创造最多的数学家，却在费马大定理的证明当中折戟而归。
随后，人们发现费马关于四的证明可以推广到所有四的倍数，如八、十二、16等等。欧拉的证明又可以推广到凡是三的倍数，如六、九等等。于是，要证明费马大定理，只要证明对五、七、11这些质数成立就可以了。从数量上讲，这一步推进是巨大的，但是从质量上讲，水平是不高的，因为只能算是模仿秀。
我们刚刚说了那么多的大数学家都是男性，那女性在数学领域就毫无立足之地吗？数学对女性是不公平的，人们不相信女性能够在数学上取得成就，所以女性数学家的求索之路走得异常艰难。法国的索菲·热尔曼就是一个对费马大定理做出重要贡献的女性。她生于1776年，1794年，著名的巴黎综合工科学校诞生，但是拒绝女生。一位叫做勒布朗的男同学离开了巴黎，但是学校不知道，依然为他记讲义和批改他的作业。热尔曼知道之后，冒充勒布朗接受讲义和递交作业。著名的拉格朗日是这所学校的老师，就是提出拉格朗日中值定理的那位，他发现勒布朗先生的答卷今非昔比，一下子表现出了非凡的数学天分，就要求与勒布朗先生面谈，这样热尔曼的身份暴露了，拉格朗日接受了这位女学生。也许拉格朗日对数论不精，热尔曼决定与德国的高斯讨论费马大定理。高斯是被称为数学之王，而费马只被封为业余数学之王，高斯在数学界的地位由此可见。热尔曼还是用勒布朗的名字与高斯通信。
热尔曼定义了一类质数，后人称之为热尔曼质数，具体是：如果P和2P加一都是质数，那么这个P就是热尔曼质数。热尔曼证明了一个结论：如果费马大定理中的N是一个热尔曼质数，那么方程的解X、Y、Z当中至少有一个数是N的倍数。她说这个结论使得费马方程大概没有解。我们没有看到过高斯对费马大定理有任何研究，但是他对勒布朗先生的回信当中说道：“我很高兴算数找到了你这样有才华的朋友。”热尔曼给高斯写第一封信的时候才20岁，一个热衷数学的青春少女。热尔曼对费马大定理的证明没有进一步的贡献，但是狄利克雷和拉梅，当然都是有名望的数学家，用热尔曼的方法分别证明了指数是五和70费马大定理成立，五是热尔曼质数，七不是，而拉梅的证明是在对热尔曼方法的基础上改进完成的。
好，到这里，费马大定理的证明是取得了小小的胜利，已经证明了指数是三和四的倍数以及质数五和70费马大定理成立。此后，关于费马大定理的证明陷入了长达一个多世纪的黑暗时期。在阶段性胜利之后，法国科学院为推进费马大定理的证明设置了3000法郎的丰厚奖金。为了第一个获得证明费马大定理的殊荣，可能也是为了那3000法郎的奖金，拉梅和另一位杰出的数学家柯西，就是在微积分领域做出奠基性贡献的柯西，俩人竞争开了。在法兰西科学院公布奖励之后的第三个星期，他们俩声明各自已经在科学院里存放了一个密件，信封里装有他们的研究计划，等到一旦获证之后，可以区分究竟是谁先找到了正确的入口。在这之后的整整一个月内，俩人是在争相与科学院的通报上发表自己的最新成果。1847年5月24号，对拉梅和柯西来说，注定是一个痛苦的日子，德国数学家库默尔给科学院寄来一封信，库莫尔指出，拉梅和柯西的证明基础都是错误的，库莫尔还断言，按照你们目前的路线是不可能证明费马大定理的。要知道，库莫尔可是数论领域的权威之一，他的信非常有分量。库莫尔的信件对当时所有在研究费马大定理的人来说都是巨大的打击，这些人都与拉梅和柯西一样，像是蒸发了。
虽然库莫尔给柯西泼了一盆冷水，柯西反而是对他表示感谢，他在1875年提议，将原先计划奖励费马大定理证明的奖金给库莫尔，理由是它使我们从浪费时间的不幸当中及早地得以解脱。1908年6月，德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔，也是一位数学爱好者，他在遗嘱当中为费马大定理的证明设置了第二笔奖金，金额为10万马克，相当丰厚。沃尔夫斯凯尔设置奖金说来也是很有戏剧性，据说他迷恋一位姑娘，但是遭到拒绝，于是他非常沮丧而想到了自杀。他定下了自杀的日子，交代了后续的商务，写下了给朋友们的复告，他在复告当中指明，在午夜钟声响起的时候，沃尔夫斯凯尔开枪射击自己的头部而死亡。一切准备工作都做完了，但是距离午夜还有几个小时，于是他就找出了库莫尔的文章读起来，这是临死之人消磨时间的好方法。库摩尔在文章当中分析了法国人证明费马大定理的方法为什么行不通。读着读着，沃尔夫斯凯尔突然发现，库莫尔实际上做了一个假设，但是却没有说明假设的合理性。沃尔夫斯凯尔想，如果这个假设不是合理的，那么那些法国人证明费马大定理的路不就又可以走下去了吗？于是他全神贯注地审读库莫尔的文章，一步一步地沿着库默尔的思路重新证明，希望找出库莫尔的错误，并建立正确的结论。不知不觉天亮了，他错过了自己设定的自杀时间，但是证明了库莫尔的这点小漏洞是可以弥补的。诶，沃尔夫斯凯尔为自己的这一结论感到十分得意，意气风发，生命的美好又呈现在面前了，他撕碎了给朋友们的诀别信，并决定要设置奖金，推进费马大定理的证明。所以后人又称费马大定理为救命大定理。
10万马克奖金的诱惑力还是很大的，第一年，几乎所有的杂志都发布了设奖的通告，收到了621份证明，第二年，杂志就拒绝刊登这样的消息了，因为纷飞而来的信件严重干扰了他们的正常工作。然而，在这一阵子费马狂热当中，很少有正规的数学家参与其中，反而正规数学家为费马大定理提供的恰恰都是负面的消息。到了1931年，多少东西的保质期都过了，数学家们也都开始怀疑费马大定理的证明是不是敲错了门。这一年，哥德尔提出了不完备性定理，根据这个定理，费马大定理有可能是既不能被证明又不能被否定。所幸，30年后，年轻的数学家科恩提出了一种检验方法，数学家们用科恩的方法去判别费马大定理，谢天谢地，费马大定理不是不可判定的，粉丝们总算可以继续努力了。
诶，我们的主角，揭开费马大定理谜底的人终于要登场了。安德鲁·怀尔斯，1953年出生于英国，1963年，十岁的怀尔斯读到了贝尔写的一本科普读物《大问题》，书中提到费马大定理。怀尔斯在30年后回忆十岁的时候的情景说：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它，那里正摆着一个我，一个十岁的孩子能看得懂的问题。从那个时候起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它。”怀尔斯由此钟情数学。1973年，他毕业于牛津大学默顿学院，获数学学士学位，随后开始了他在剑桥大学克莱尔学院的研究生学习生涯，导师是澳大利亚人约翰·科茨教授。科茨教授知道怀尔斯钟情费马大定理，但是他认为一个刚入学的研究生研究费马大定理是不可能的，他为怀尔斯制定了椭圆曲线的研究方向。后来证明，科茨教授的决定是怀尔斯通向成功的关键点。怀尔斯研究的问题是椭圆方程有没有整数解和有多少组整数解。乍一看，除了整数这一点之外，椭圆曲线问题与费马大定理好像没有什么关系。花开两头，各表一枝。
战后的日本经济慢慢复苏，1950年代中期，日本出了两个杰出的年轻数学家谷山和志村，他们在大学里边相遇，两个人都是才20多岁。志村的性格有点古怪，比较传统和保守，天刚刚亮就起床投入工作。谷山则是那种心不在焉的天才，邋里邋遢的，大中午的还在呼呼大睡，这却是成了志村羡慕的一种品质，说谷山天生就有一种犯错误的本领，尤其是朝正确的方向犯错误。志村就常常试图模仿他，结果发现要犯好的错误也是十分不容易的。他们俩研究了一种古怪的数学对象，称为模形式，这是19世纪提出的一个新概念，要完全讲清楚模形式的定义和运算相当复杂，我们只要知道它是与加减乘除并存的一种运算形式，具有平移、旋转、中心对称和轴对称的性质。一个椭圆方程，一个模形式，看上去似乎是两个相隔遥远的孤岛。1955年，在东京举行的一次国际性数学界的会议上，包括谷山和志村在内的日本数学家向会议提出了一份报告，报告当中罗列了他们正在思考的36个问题，谷山一个人提了四个，其中包括椭圆方程和模形式之间可能存在一一对应关系，这个问题后来就称为谷山志村猜想。
很多人认为谷山志村猜想是一个不可思议的奇想怪论的时候，一些著名的数学家认识到两个看来不相干的领域的碰撞一定会擦出异样的火花。在名家的支持下，谷山志村猜想成为很多研究成果的基础，那些论文说，如果谷山志村猜想成立，那么我们就可以证明这样那样的结论，其中有一个推断是弗莱提出的，他将费马方程和椭圆方程联系在了一起。弗莱说，如果谷山志村猜想是对的，那么费马大定理就是对的。在椭圆方程领域小有名气的怀尔斯跃跃欲试了。
那是1986年夏天，他已经有资格在美国普林斯顿做研究了。怀尔斯决定做独行大侠，他将自己封闭起来，不与别人讨论，也不想让别人知道他在挑战费马大定理。一来，他是害怕不能够最终解决费马大定理的证明，而非贻笑大方；二来，是怕别人利用他的成果捷足先登。除了必要的数学工作，他放弃了一切与费马大定理无关的学术活动，偶尔发表一篇小论文，那也是为了迷惑周围的同事。只有他的夫人内达知道他在做证明费马大定理的准备。1988年3月8日，怀尔斯在《纽约时报》上看到了日本东京大学的公港杨一用微分几何方法证明了费马大定理，一时非常失落。好在后来证明这只是一次乌龙，证明当中存在着无法克服的逻辑错误。诶，怀尔斯又振奋了，他整整花了18个月，熟悉了这些年，在椭圆方程和模型式的全部进展，那时已经是1988年底了。怀尔斯决定采用数学归纳法来证明，一开始他的证明还是很顺利的，直到1991年，最后一步证明受阻，他走投无路，决定回英国去参加一次椭圆方程的学术会议，一方面是看看是否能够得到什么启发，另一方面也就是为了散散心。
会上，他碰到了导师柯茨教授，无意当中听到了一种叫做科利瓦金的方法。柯茨教授说，他的一名学生正在用这种方法研究椭圆方程。怀尔斯回到普林斯顿，花了几个月去熟悉这种方法，可惜他不熟悉其中的代数知识，万不得已，他只得向他的同事凯兹吐露，告诉凯兹他正在研究费马大定理，希望得到他的支持。1993年5月，在凯兹的帮助下，怀尔斯终于完成了最后证明。他挑选6月在剑桥举行的学术会议上宣布他的证明，他的导师科茨正好是这次大会的组织者，怀尔斯提出要在会上做三次演讲，科茨让出了自己演讲的机会，让怀尔斯三次登上了会议的讲台。第一次报告当中，怀尔斯没有宣布对谷山志村猜想的证明，但是他说了自己正在向那个方向前进，他还有两次报告关于最后的结果，她非常保密。第二次报告当中也没有更多实质性的内容，怀尔斯透露精妙之处将出现于明天。第三天的报告已经没有悬念可言，他宣布了自己已经成功证明了费马大定理，剑桥大学数学研究所的所长甚至是事先准备好了香槟。当怀尔斯说道：“我想我就在这里结束。”会场爆发了经久不息的掌声。
好事注定是多磨的，按照沃尔夫斯凯尔遗嘱的规定，怀尔斯的论文必须在杂志上发表，并且经过两个月无人质疑才算正式证明了费马大定理。然后发奖会议之后，怀尔斯将论文递交给《数学发明》编辑梅修尔，选了六位审稿人，怀尔斯的同事凯兹教授担任了最重要部分审稿，为了慎重，凯兹请了一位法国教授一如其作为共同审稿人。两位审稿人不断地将发现的疑问与怀尔斯讨论，这样延续了三个月。8月间，审稿人发现了一个稍微复杂一点的错误，而对于这个错误，怀尔斯没有立即作出回应。到了11月，怀尔斯的论文还没有发表，一时流言四起。到12月，论文还没有发表，数学家们已经没有了信心，报刊的记者更是大做文章，认为这又是一次乌龙。更有甚者，1994年4月3日，很多数学家收到了一封电子邮件，邮件写道：“现在费马大定理真的出现了使人惊奇的进展，诺姆·埃尔基斯宣布了一个反例，终于证明费马大定理是不成立的。”诺姆·埃尔济斯曾经指出过欧拉的一个猜想是错的，因而成为反例专家。怀尔斯看着电子邮件如同晴天霹雳一般，甚至他都不敢去验证一下这个反例对不对。还好，不久人们发现这只是愚人节的一个笑话。
14个月过去了，怀尔斯还是一筹莫展。1994年9月19号，怀尔斯决定对自己的证明做最后一次审查，他突然发现一个长期被自己遗弃的工具，就是他的导师提及的科利瓦金方法，可以用来解决这个错误，惊喜若狂啊，怀尔斯立即写下了证明。他回忆说：“第二天早晨起来，我又仔细的检查了一遍，到11点钟，我完全放下心来。”他说：“10月内达的生日就要到了，我可以送上去年承诺的生日礼物，费马大定理的证明了。”论文发表在1995年5月的《数学发现》上，长达130页，这次真的没有问题了。
怀尔斯在费马大定理当中沉浸了8年时间，解决了这个问题之后，他感受到无比的轻松，同时也是有着一种失落感。他说：“费马大定理是我童年时代的恋情，没有东西能够取代它，我将尝试别的问题，也将再次获得一种成就感，但是不可能有别的问题能够像费马大定理那样使我神往。”
以上就是费马大定理的故事了，一个困扰了世间智者358年的谜题，充斥着数学家们的努力、彷徨、失落与惊喜。总结近20年来数学问题被解决的经历，首先是1994年怀尔斯证明费马大定理，后来是2003年佩雷尔曼证明庞加莱猜想，最近是张益唐在2014年证明了弱化孪生素数问题。这些问题的解决都有一个共同的特点，突破前人做法、引进新的工具。这些成功正是在印证数学家长期追求的一个愿景，数学的各个分支是相通的，而数学上的每一次突破都会给科学家解释这个世界带来新词汇。
好，《费马大定理》这本书就为你解读到这儿，精华笔记在音频下方，我们明天见。
"感谢喜欢，赞赏支持是对我的鼓励。"
很赞哦！ (0)
上一篇： 《巴菲特致股东的信》
下一篇： 《对“伪心理学”说不》
