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《心中有数：生活中的数学思维》
铛铛铃2025-09-13【科普】1人已围观
简介
今天为你解读的书是《心中有数》。
生活中处处有数学。家庭主妇计算油盐酱醋，都市白领规划房贷、理财，精明的人都会用数学获得更好的效益。那么，数学对你有什么启迪呢？欢迎在评论区留言分享。
《心中有数》这本书的作者是北京航空航天大学的刘雪峰老师。香港理工大学的曹建农教授非常推崇这本书，他说：“我逐章逐段地阅读了全书，获益匪浅。”
这本书共有三篇，分别是思维篇、方法篇和学习篇。作者用18个小故事，将日常生活中的一些琐事与数学原理结合起来，告诉我们，用好数学会让生活更美好。我将这些小故事重新组合为四个模块，为你讲解，分别是生活中的概率问题、如何处理折中问题、如何将复杂问题简单化，以及生活中的系统科学。接下来我就为你一一道来。
首先，我们说说生活中的概率问题。先来讲一个例子，有这样两个人，小王和老李。小王家境富裕，大学毕业，不想朝九晚五在公司上班，便与几位志同道合的同学开了个小旅行社，在风景秀丽的家乡建造了几栋民宿，主打休闲民宿。虽然小王和妻子都是非常勤快的人，但是他们的事业并不顺利。且不说竞争激烈，就是这几年的疫情，去民宿度假的城里人极少，旅行社只有支出没有收益，很快就难以为继。就算几个合伙人再三努力开拓生意，但事与愿违，民宿还是经营不下去了。
再来看老李，他一向与人无争，是个随遇而安的老好人。他的信念是一切皆有命，不过他的命运不济，先是下岗，后来经营一个小生意又亏本，随着年龄的增长，身体毛病也多了起来。这两个人对人生采用了两种不同的态度，老李的世界观叫做宿命论，一切由命，没有努力；而小王的世界观可以叫奋斗论，认为什么东西都可以通过努力达成。
事实上，世界上很多事情都是随机事件。开一个旅行社并经营成功，是一个随机事件；做一个小生意赚钱也是一个随机事件。研究随机事件的数学理论叫做概率论。对待人生经历中很多问题，就要有概率的意识，这种世界观可以称为概率世界观。概率世界观推崇一句话：平静接受现实，努力改变概率。平静接受现实是说，作为随机事件，成功与失败的可能性都是存在的，一旦发生不如意的现象，那么就应该接受这个事实。概率世界观的意义在于后半句：努力改变概率。这包含两层意思。首先是承认概率，就是在做一件事之前，正视它的随机性，分析成功的可能性有多大，这点可以通过总结成功与失败的案例归纳出来。对于一件成功概率很低的事情，必须经过非常慎重的分析才可行动。比如在当今的中国，旅行社星罗棋布，民宿旅游也不是个新鲜事儿，小王此时办民宿旅行，本来竞争就很激烈，加上疫情冲击，成功的概率就更低了。其次要有改变概率的意识和措施，事件的概率可以通过条件来改变，就是说可以通过创造条件来提高成功的概率。例如老李可以通过提高服务质量、商品品质，销售特色商品来提高营业额。
我们再说回概率，概率可是当前热门的人工智能和大数据理论的基础。这个数学分支起源于博弈，也就是赌博。轮盘赌是一种常见的赌博形式，将一个圆盘均匀地分成38个扇形，再将0~37这38个数字打乱，随意地写到每一个扇形中。参与赌博的人先要花一元钱去选购一张彩票，每张彩票上印着0~37之间的一个数字，然后赌场工作人员转动圆盘，当圆盘停下时，对应时钟12点位置的那个扇形上的数字，便是中彩数。彩票上的数字与中彩数一样，便中奖了，奖金是36元，这就是俗称的一赔36。我们要研究的问题是，这个36是怎样设计出来的。
一个圆盘均匀地分成38个扇形，每次得奖的只有一个数字，因此赌民赢的概率是1/38，约26.3‰。假设小张花了1000元买了1000张彩票，共得奖29次，就是小张的中奖频率是29‰。注意这里叫频率。又有小陈买了500张彩票，得奖12次，那么他的中奖频率为24‰。显然小张赢了钱，而小陈输了钱。概率论中有一个基本的定律，叫做大数定律，说的是当试验次数趋向于无穷大时，频率就会趋向概率，这是人们从长期实践中归纳出来的一个结论。依照这个定律，无论是小张还是小陈，只要他们一直赌下去，他们的中奖频率会在26.3‰左右波动。原盘赌赢的概率是1/38，就是平均来说，一个参赌者赌了38盘会赢一盘，也就是说花38元买彩票会赢一次，得到36元，输掉两元，这两块钱就被庄家赚走了。为什么不是一赔38呢？因为平均来说，赌徒赌38次，赢一次庄家赔你38，那庄家还怎么赚钱？为什么不是一赔34呢？因为胜算太低，会挫伤赌徒的积极性。一般来说，庄家在做赌博设计的时候，会使自己必赢的金额定在5%到10%，甚至有的地方政府会干涉赌场必赢金额的比例。一赔36是说输了只亏一元，赢了就可以得到36元，因此吸引了很多人去碰碰运气。但是赌博都是经过精心设计的，大数定律告诉你久赌必输，因此还是远离赌博为好。
不仅赌场中有概率，生活中处处有概率。我们再说一件真实的事。一天，美国通用汽车公司收到用户的一个投诉，说他买的庞蒂亚克汽车对香草冰淇淋有歧视，因为他开着庞蒂亚克汽车去买冰淇淋，每当他买香草冰淇淋的时候，车就不能启动，但是买其他口味的冰淇淋，汽车都能很好地启动。他想知道，为什么庞蒂亚克每次遇到香草冰淇淋都无法启动。尽管通用汽车公司认为这个投诉很可笑，但还是派了工程师去解决这个问题。这位工程师非常认真，坐了这辆庞蒂亚克去买冰淇淋，第一晚买了巧克力冰淇淋，汽车正常启动；第二晚买的是草莓冰淇淋，汽车也正常启动；第三晚买了香草冰淇淋，汽车果然无法启动。无独有偶，一次在伦敦的调查发现，如果出租车司机穿皮夹克，那么城市车祸的发生率就会增加。有人分析，皮夹克会影响驾驶员操作，于是就有议员建议立法禁止出租车司机穿皮夹克，这个议案差点被通过。这两件事都涉及因果问题，香草冰淇淋是汽车不能发动的原因吗？皮夹克是导致车祸增多的原因吗？
通用的工程师很尽职，他非常详细地记录了三次买冰淇淋的过程，还到冰淇淋店里实地考察。他发现顾客买香草冰淇淋花的时间最短，因为热销，老板会事先做好几个香草冰淇淋代售，而其他冰淇淋需要现场制作，所以等候时间较长。而这辆车确实存在一个毛病，叫气阻，就是熄火道再次启动需要一个冷却过程，时间过短就点不上火。发现了这个问题，车子就修好了，香草冰激凌的冤情也澄清了。而伦敦的驾驶员习惯在潮湿天气穿皮夹克，可潮湿天路面较滑，交通事故也就增加了，因此车祸与皮夹克无关。
我们以皮夹克为例，用概率论来解释产生误判的原因。这里涉及三个事件：气候潮湿、驾驶员穿皮夹克以及交通事故增加。其中气候潮湿是因，驾驶员穿皮夹克为了防潮，因此他和交通事故增加都是果，驾驶员穿皮夹克和交通事故增加之间不存在因果关系。为了证实这个结论，有人做了专门研究，他们先考察在天气潮湿条件下发生交通事故的概率，然后考察天气潮湿时，穿皮夹克司机发生交通事故的概率，结果这两个概率几乎完全一样，这样就将皮夹克从交通事故的原因中撇除了。用概率的语言说，就是驾驶员穿皮夹克和交通事故增加是两个独立事件。尽管是两个独立事件，它们之间不存在因果关系，但是一个不争的事实，他们常常同时发生。概率论用相关关系来描述产生相互之间有影响的事件，也就是说，驾驶员穿皮夹克和交通事故增加是两个相关事件。相关事件经常会伴随发生，而且会有同一个原因。
那么同一个原因一定会导致相同的结果吗？答案是不一定。这就要说到因果关系中的A、B、C理论。举个例子，一个孩子考试成绩不好，他的家长就揍孩子了，原因是孩子考试成绩不好，结果是家长揍孩子，因果关系似乎很明确，但是也有很多家庭孩子考试成绩不好，没有导致家长揍孩子。一个美国心理学家，用ABC理论来解释这种现象，其中A、B、C分别代表原因、信念和结果。他认为结果不但受到原因的影响，而且受到信念的影响，A是通过B才产生C的。有的家长崇尚说服教育，所以他不打孩子，有的家长习惯棍棒教育，所以他打了孩子。相同的原因，不同的信念会导致不同的结果，而且这个信念是独立于原因与结果的。因此为了产生好的结果，信念很重要。这种信念涉及人的认知。那么在皮夹克与伦敦车祸之间，议员们的信念是什么？他们认为车是司机驾驶的，责任自然在于司机，而没有顾及环境，设身处地的为司机们着想。
上面讲述了生活中的概率论，它告诉我们，世界上大多数的事件都是不确定的，两个相继发生的事件也不一定存在因果关系，而且即使存在因果关系，也可以通过信念改变结果的发生，这就是概率世界观的真谛。
接下来，我们来讲讲折中的数学知识。什么是折中呢？这个词出自孔子对舜的评价，尧、舜、禹的舜，孔子非常推崇舜，称他隐恶而扬善，执其两端，用其中于民。它的通俗含义就是折中，也就是不要走极端。
我们再来看一个例子，有一家上市公司在2021年时公布了从2015年至2020这几年的利润，2015年10亿，2016年9.4亿，2017年10.6亿，2018年10.7亿，2019年12.2亿，2020年14亿。股民一定很关心这家公司2021年甚至2022年的发展趋势。如果以年份为横坐标，利润为纵坐标，那么这六个数字就是坐标平面上的六个点。第一个点到第二个点是下降的，此后都是增长的，而且增长的越来越快。为了掌握这家公司利润增长的规律，甲构造了一个五次多项式，这个多项式的图像能够准确地通过这六个点。然而，根据这个多项式来预测2021年的利润，那将断崖式的下跌到8亿元以下，并且以后一直下跌，这显然是不可能的。孔子说要执其两端用其中，如果将准确的描述过去作为一端，将可靠的预测未来作为另一端，那么这个五次多项式，只是执着描述过去的一端，没有顾及预测未来的另一端，当然不会有其中可用了。显然这种做法不符合孔夫子的教诲，特别对于股民来说，预测未来比描述过去更为重要。一般来说，一个公司每年的增长率是差不多的，也就是用一个线性模型比较科学。这个例子中，坐标平面上有六个点，随意选取两个点做直线，则可以画15条直线，哪一条最好呢？六个点中随意取两点做一条直线，可以认为其他四个点都不在直线上，于是这些点到直线有一个平行于纵轴的差距，差距有负，为了消除符号带来的影响，对这个差距做平方，这样就得到四个平方差，容易想到这四个平方差之和最小的那个，就应该是这15条直线中，最能代表全部六个点的一条直线了。后来又有人想，为什么要限定过两个点呢？如果有一条直线不要求它经过任何点，但是六个平方差之和最小不是更好吗？这种思想就是最小二乘法，它不再拘泥于经过点，而在乎总误差最小，更体现了孔夫子执其两端，用其中的思想。这种最小二乘法，是大数学家高斯第一个提出并采用的。
1801年元旦，一个叫做皮亚奇的天文学家发现了一个新的小行星，他将小行星命名为谷神星。皮亚奇跟踪了小行星40天，记录了他的相关数据之后，这颗星就消失在耀眼的太阳光中了。当时天文学家已经知道，行星的轨迹是一个椭圆，太阳是其中的一个焦点，谷神星与地球并不运行在一个平面上，这些给预测谷神星的轨迹带来了困难。很多天文学家给出重新能够观察到谷神星的预测，但是神秘的谷神星却一直没有露脸。当年只有24岁的高斯，利用皮亚奇的数据，应用最小二乘法，估计了谷神星运行的椭圆方程，并于1801年12月初预言，他将在这个月的月底出现，还给出了位置的估计。果然，两位天文学家分别在1801年12月31日和1802年1月2日，在高斯提示的区域观察到了谷神星，高斯一时名声大噪。最小二乘法放弃了对现存数据精确拟合的要求，着眼于未来变化的估计，这是数学建模的真谛。最小二乘法还可以与概率结合，例如考虑前面的例子，当利用最小二乘法获得2021年利润的同时，还可以算出他估计的概率和95%的置信区间，就是说有95%的把握，利润在哪个范围内变动。最小二乘法还可以与递推算法结合，不用再从原始数据出发，根据新的数据就可以得到新的公式，这点与步步为营的办事策略也不谋而合。以上就是折中的数学知识。
我们知道世界是复杂的，也是简单的。说世界是复杂的，是因为他的表现是复杂的，五彩缤纷、千变万化；说世界是简单的，是指它背后的原理是简单的，条分缕析，元素分解只是一些简单东西的组合。从复杂中看出简单，那是需要本事的。
第三部分，我们讲点将复杂变成简单的数学方法。数学上将复杂变成简单的方法是分解，中学生都知道质分解，还知道因式分解，这种分解技术在我们生活中有很多的应用，当然，采用的分解工具也要比质分解、因式分解复杂得多。比如带一个智能手环，就可以知道今天你走了几步，大约走了多少米，这其中的原理是什么呢？原来智能手环里安装了一个加速传感器，它能够检测手臂运动过程的速度变化，然后将检测到的信号存储起来。检测到的信号混杂着许多与走路不相干的信号，例如穿衣服、取物品，引起手臂运动，正常的走路是一个周期运动，如果将这种周期运动从杂乱无章的信号中分解出来，那不就是将走路从其他运动中分离了吗？数学提供一种分解技术，叫做傅里叶分解，它能将一个函数分解成一些正弦函数的叠加。我们只要统计与人们行走相似的那个正弦波的数量，就能获得走的步数了。手环中的芯片完成傅里叶分解，记录走的步数，再将正弦波的宽度折算成步长，从而获得走的路程。
再比如，处理一件复杂的事很难，于是人们想将一件复杂的事分解成几件小一点的事，造几个设备分别来处理这几件事，使问题方便地得到解决。这方面的典型例子是计算芯片，或者叫处理器。计算机最核心的是CPU，即中央处理器，它负责计算机的一切计算，安装CPU的那块板称为主板。另一个是图形处理器，简写是GPU，装在GPU的那块板称为显卡，管理计算机显示的。即使在芯片技术高度发展的今天，CPU和GPU还是分离的，他们各司其职，互不干扰，保持高度的执行力。现在的人工智能计算机还装备了第三种处理器，张量处理器，简称TPU，三种处理器分别完成不同的任务，其中张量处理器功能单一，只是用来完成深度卷积计算，功能越专一的设备，专门处理能力就越强大，大名鼎鼎的Alpha Go的核心就是TPU，靠着TPU，Alpha Go在围棋世界打遍天下无敌手。当将一个任务进行分解的时候，每一个子任务称为一个维度，例如计算机的三类处理分别执行计算、显示和推理三个维度的任务。分解的维度可以有很多选择，怎样的选择是最好的呢？美国哥伦比亚大学的菲利普斯教授做过一项研究，他设计了一个系列谋杀案，然后组织了三个破案小组，将所有与案件有关的资料同时呈现给这三个小组，要求他们分析案情，解开案件之谜。第一组是一名著名专家独立行动，第二组由几个背景相似、相互熟识的刑侦人员组成，第三组由几个各有专长的、相互不认识的人组成。实验结果，第三组推断准确率为75%，第二组的推断准确率为54%，第一组只有44%。为什么各有所长的陌生人组成的团队能够取得最好的效果呢？我们来讲讲这其中的数学原理。平面上两条直线相交，得到一个交点，如果将其中一条直线平行移动，那么这个交点也会改变，不难发现，当两条直线夹角越小的时候，交点移动的距离越大，因此，当两条直线垂直时，交点移动最小。对一个事件，个人从各自熟悉的角度进行观测与分析，这相当于用自己的方式画了一条直线，事情的真相就是这些直线的交点，就是认识论中的共识。即使某人观测与分析稍微有点偏差，但总有接近真相的部分，那么总体结论也就是那个交点与事实也不会差得太远。这就意味着这些直线的夹角越大越好，或者说参与者的观点要多样化。
最后我们来讲系统科学在生活中的应用。经典的系统科学包含系统论、控制论和信息论，它们都属于数学的分支。解决任何问题都需要有一个底线，底线思维是系统论的一个出发点，系统论强调要从整体看问题要抓住关键。比如孩子学习用勺子舀炒三丁时，他需要有一把勺子，还要有家长教他舀炒三丁的方法，这两件事中哪一件更重要？当然是有勺子更重要，没有勺子，再好的炒三丁办法也是白搭，找来一把勺子就是底线思维。再比如说电饭煲的用途是煮饭，将装有米和水的锅子放进电饭煲中，按下煮饭的按钮，不管锅里的米是300克还是1300克，它都能自动的完成煮饭过程。那么这里的底线思维在哪里呢？设计电饭煲的底线是了解做饭的规律，煮饭实际上分成两个过程，先用大火将米中的水烧开，米粒吸收水分渐渐膨胀，等到水基本干了以后，改成小火焖饭，让米彻底胀开。于是设计的要点就是检测锅里的水基本烧干，然后改成小火焖，底线是找到一种方法检测锅里的水是否快干了。很多人做过尝试，利用重量或时间来判断水是否烧干，但是由于米和水的重量的不确定性而无法奏效，于是底线又加了一条备注，用重量和时间估计水是否烧干的方法无效。就在设计者走投无路的时候，一种新的材料闯入了设计者的视野，有一种称为软磁铁的材料，它在103℃时会失去磁性，而在正常的气压下，只要有水的存在，米饭的温度就不会超过100℃，也就是说水烧干后，软磁铁就会失去磁性。于是从软磁铁出发的设计，成就了电饭煲的底线思维，通过简单的电路设计，就可以让电饭煲在水快要烧干的节点停止高温加热。
工程设计一般遵循这样的理念，先确定方案，将东西做出来，然后再逐步优化改进，先将东西做出来是硬道理，是落实底线思维。有了底线思维，如何让系统按照符合我们预想的方式运转呢？咱们再来说说控制论中的正负反馈。控制论是麻省理工学院的维纳教授在二战后提出的，他指出，世界上的绝大多数控制不是根据控制目标，而是依据现实与目标之间的偏差进行的，他将这个称为负反馈原理。假设桌面上放着一个手机，然后你伸手去拿，尝试两种方法，一种闭着眼，但是容许你在闭眼前做任意多次的演习，另一种是睁着眼，结果一定是睁着眼的动作让你一下子就拿到手机，而闭着眼的那些刺在桌面的摸索是免不了的。当你睁着眼睛去拿手机的时候，眼睛观测到手指与手机的差距，大脑根据这个差距不断地调整伸手的姿态，然后一下子就拿到手机了，这就是负反馈原理的体现。闭着眼就看不到差距，伸手的动作无法在过程中调整，自然也就不准了。大多数的控制行为是依据目标与现实之间的偏差进行的，偏差不断的得到检测，控制依赖偏差，他的目的是使偏差不断缩小，最终达到目标，这是自然，包括人与机械运行的普遍原理。应用负反馈原理的控制系统称为闭环系统，闭环系统起码有三个组成部分，第一个是对象，在上面的例子中就是那只手机，第二个是检测设备，它是用来检测现实情况的，在上面的例子里就是指眼睛了，还有一个控制器，它根据现实与目标之间的偏差来发布指令，达到减小直至消除偏差的目的，在上面的例子里是人脑。负反馈的目的在于维持一种稳定的运行，现实世界应用负反馈原理的闭环系统比比皆是，定时器是闭环系统，空调是闭环系统，巡航导弹命中目标靠的是闭环系统，飞船对接空间站也是靠闭环系统。
除了负反馈，还有正反馈，正反馈利用的不是偏差，它是利用现有条件而不断攀升的过程，原子弹的裂变反应就是一种正反馈，良好的经济状态也是一种正反馈，不过正反馈最终会导致崩溃，就像核爆炸，因此一定要将它限制在一点适当的度中。例如在经济发展的各个阶段，不断的修正政策，就是对正反馈的一种调剂。好坏正反馈的区别如同一纸之隔，正确的设计和应用是良性正反馈的关键。控制论中的正反馈和负反馈的想法，已经广泛地应用到社会各个领域，发展出了教育控制论、经济控制论等等。
最后要讲的一项技术叫做变换，变换是信息论的基础。信息论的创始人是美国贝尔实验室的香农，他研究了信息传递过程，他认为信息都是在发射端变换成一种信号进行传送，在接收端完成信息恢复，在这个意义上，变换是信息论研究的基本对象。变幻已经深入到人们日常生活中，例如过去在三伏天，大家要晒煤，家里放着的药材、干货拿出来晒一晒，祛湿、防霉和杀虫，现在很多家庭放在微波炉里加热一下，只要温度调节适当，几分钟就可以了，不必非要等到三伏天。家里的绿豆、赤豆等到了夏天容易生虫，现在的冰箱可以达到零下18℃，将这些豆子放进冰箱一周再取出来，虫子全死了。这些简单的技巧本质都是变换，一种方法不行了，换一种方法试试，果然会柳暗花明。经济发展也需要变换，比如19世纪，美国的铁路出现了集装箱运输，将东西往集装箱里一搁，将集装箱装上平板列车，到了站把集装箱掉下来，平板列车继续使用，极大地提高了铁道运输的能力。在20世纪60年代左右，这个想法被引入海运，人们开始建造集装箱船，过去的货物都是堆在仓里的，装货与卸货非常麻烦，集装箱船将集装箱堆放在甲板上，大大的减少了装卸时间，而且给船运和铁路运输的衔接创造了便利。将散装变成集装箱，虽然只是一项不起眼的改变，但却带来了今天航运业的发展。
再比如说高压电，我们日常使用的单相电的电压是220伏的，工业用电也只有380伏，那为什么会有2万2000伏甚至更高的高压电呢？为了有高压电要造变电所，在发电厂一端将电压升高，在用户一端将电压再降下来。原来将电压升高，可以减少在传输过程中能量的损耗。对于一个设备来讲，额定电压是固定的，例如三相电动机，运行时的电压为380伏，电动机马力就由电流大小决定了。从发电厂到用户总是存在距离的，电流靠电缆输送，电缆总有电阻，当电流流过这段电缆的时候，产生的热能可以用电流的平方乘以电缆的电阻来计算，因此电流越大，电缆上损耗的能量就越多。功率等于电压乘以电流，在功率固定的情况下提升电压，那么电流就越小。在用户那端，电压是固定的，但是在传输的时候没有要求电压固定，提升电压减小电流，就能使电缆上损耗的能量降低，因而输电的时候将电压升高100倍，这样电流就是原来的1%了，电缆上损耗的能量就是原来的万分之一，节省的能量太可观了，所以人们才不惜花大代价去造变电站。
今天的人们生活在变幻之中，家家户户宽带用的猫，它的学名叫调制解调器，就是一种变换设备，将光缆中的数字信号变成手机可以接收到的模拟信号。因此，当你在生活中碰到困难的时候，不妨换一种思路来个变换，说不定问题就迎刃而解了。
生活中处处有数学，然而并不是每个人都能认识到的。如果能抽象出数学问题，再应用数学知识解决这些问题，那么一定会让你的办事更有效，工作更顺利。听完我们今天的讲解，你对数学有什么新的认识呢？欢迎在评论区留言讨论。
好了，《心中有数》这本书就为你解读到这儿，听书笔记在音频下方，我们下期见。
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